Cómo muchos de los valores no $1^{\alpha}$ ha $\alpha$ irracional?

Question

Con un solo valor es $\displaystyle\cos\left(2\pi\alpha\right)+i\sin\left(2\pi\alpha\right)$, por el teorema de Euler. Por otro lado, podemos elegir una secuencia arbitraria $S=(a_n)_n$ de los números racionales convergentes a $\alpha$, recoger $a_n=p_n/q_n\in S$ y calcular los posibles valores de $e^{2i\pi p_n/q_n}$. El $q_n$ parte va a abrir muchas ramas, pero eventualmente $p_n$ va a hacer que algunos de ellos llegan a ser iguales. No está claro si el número de soluciones es creciente.

Porque multivaluedness puede causar serios dolores de cabeza a veces, vamos a definir algunas cosas. Seno y coseno son definidos por el habitual en series de taylor y de exponenciación por un número natural se mantiene intacta. Las raíces se calculan mediante este procedimiento: $\mathbf{1^{1/q_n}}$ se define como el conjunto de $$\mathbf{1^{1/q_n}}=\{z:z\in\mathbb{C}\wedge z^{q_n}=1\}.$$

Podemos, entonces, definir $\mathbf{1^{p_n/q_n}}$ a ser el conjunto de $K_n=\{z^{p_n}:z\in\mathbb{C}\wedge z^{q_n}=1\}$. Para evitar más problemas, dejamos $p_n$ $q_n$ ser coprime.

¿Cómo es la cardinalidad de a $K_n=\mathbf{1^{p_n/q_n}}$ creciendo a lo largo del tiempo? Yo no tengo la intuición en este apertura y cierre de sucursales juego. Quiero saber el límite de $\displaystyle\lim_{n\to\infty}|K_n|$ y una rigurosa prueba de ello.

Answer 1

Cada conjunto $\mathbf{1^{1/q_n}}$ es la $q_n$ $q_n$th raíces de la 1, que forma cíclica grupo bajo la multiplicación. Dejar que un ser un generador de este grupo.

$p_n$ $q_n$ son coprime, por lo que el orden de $a^{p_n}$ es del grupo; $a^{p_n}$ es otro generador. Por lo tanto definen $\phi : b \mapsto b^{p_n}$$\mathbf{1^{1/q_n}}$. Es simple comprobar que este es un automorphism, por lo tanto es bijective.

Este establece que la cardinalidad de a $\mathbf{1^{p_n/q_n}}$ es igual a la de $\mathbf{1^{1/q_n}}$,$q_n$.

Por tanto, como $q_n$ diverge, también lo hace el conjunto de soluciones (como se corrobora con el infinito de soluciones a la irracional caso).

Answer 2

Desde $p$ $q$ son coprime, el conjunto $\mathbf{1^{1/q}}$ es igual a $\mathbf{1^{p/q}}$. Por qué? En la forma en que hemos definido la $\mathbf{1^{1/q}}$, es igual a la $$\{\cos\left(2k\pi/q\right)+i\sin\left(2k\pi/q\right):k\in\{1,2,\ldots,q\}\}.$$ However, as $p$ and $q$ are coprime, the multiplication by $p$ just shuffles the roots, as $$\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}=\{1, 2,\ldots,q\}=\{p,2p,\ldots,qp\}.$$ That way, we see $\mathbf{|1^{1/q}|}=\mathbf{|1^{p/q}|}=q$, so $\displaystyle\lim_{n\to\infty}|K_n|=\lim_{n\to\infty}q_n=\infty$ if $\alpha$ is irrational. Moreover, it can be proven that if $\gcd(p,q)=d$, then $\mathbf{|1^{p/q}|}=q/d$.