La desigualdad con recíprocos de $n$-variable sumas

Question

Deje $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ser números reales positivos. Es cierto que siempre $$\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}-\sum_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{a_i+a_j}+\sum_{1\leq i<j<k\leq n}\frac{1}{a_i+a_j+a_k}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{a_1+\ldots+a_n}>0?$$

La desigualdad es trivialmente cierto cuando $n=1,2$. Para $n=3$, tenemos $$\frac{1}{a_1}>\frac{1}{a_1+a_2},\frac{1}{a_2}>\frac{1}{a_2+a_3},\frac{1}{a_3}>\frac{1}{a_3+a_1}, \frac{1}{a_1+a_2+a_3}>0.$$ For $n=4$ es más difícil comparar los términos directamente.

Nota: Esto está relacionado con esta pregunta acerca de la inclusión-exclusión-como la suma, pero ni pregunta implica la otra.

Answer 1

Vamos

• $n$ ser cualquier entero positivo fijo.
• $S_k$, $k = 1,\ldots, n$ ser la colección de subconjuntos de a $\{ 1, 2, \ldots, n \}$ con exactamente $k$ elementos.

La suma queremos que se puede reescribir como

$$\mathcal{S} \stackrel{def}{=} \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \sum_{I \in S_k} \frac{1}{\sum_{i\in I} a_i }$$

Para cualquier $n$ números positivos $b_1, b_2,\ldots, b_n$, si queremos ampliar $\prod_{j = 1}^n ( 1 - b_j )$, tenemos

$$\prod_{j=1}^n ( 1 - b_j ) = 1 - \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \sum_{I \in S_k} \prod_{i\in I} b_i$$

Sustituto $b_j$ $e^{-a_j t}$ en esta expansión y el aviso

$$\frac{1}{\sum_{i \in I} a_i} = \int_0^\infty e^{-(\sum_{i\in I}a_i)t} dt = \int_0^\infty \left(\prod_{i\in I} e^{-a_i t} \right) dt $$ La suma de $\mathcal{S}$ queremos puede escribirse como una integral

$$\mathcal{S} = \int_0^\infty \left(1 - \prod_{j=1}^n ( 1 - e^{-a_j t} )\right) dt$$

Puesto que el integrando es no negativo y no es idéntica a cero, la integral anterior y, por tanto, la suma de $\mathcal{S}$ queremos es positivo.