¿Hay alguna fórmula general para la siguiente serie
$$\tag{1}\sum_{n\geq 1}\frac{H^{(p)}_nH_n}{n^q}$$
Donde definimos
$$H^{(p)}_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^p}\,\,\,\,\,H^{(1)}_n\equiv H_n =\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} $$
Para el caso especial $p=q=2$ (1) he encontrado el siguiente documento
Indica que
$$\sum_{n\geq 1}\frac{H^{(2)}_nH_n}{n^2}=\zeta(5)+\zeta(2)\zeta(3)$$
Véase la ecuación (3a) .
Es allí cualquier otro tipo de papel en la literatura discutiendo (1) o casos especiales ?
Un par de lugares para empezar para seguir buscando:
El papel Más sumatoria de las fórmulas relacionadas con la generalizada armónica de los números por Zheng menciona la $p = q = 2$ caso en el ejemplo 2.3, y tiene varios relacionados con los resultados, pero no de forma explícita de la forma que usted está buscando.
El apéndice B del documento De registro-coseno integrales relacionados con la $\zeta(3), \zeta(4)$ $\zeta(6)$ por Marca Coffey tiene algunas cosas similares, y tal vez mirando a través de sus referencias y documentos que citan que podría producir más.
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