Relación entre el principal ideal y el primer ideal

Question

Sabemos que cada primer ideal es principal ideal. Pero podemos decir, cada principal ideal es una potencia de primer ideal? si no es correcto un contraejemplo.

Gracias.

Answer 1

De Atiyah-MacDonald, página 51, Ejemplo 2):

"Vamos a $A=k[x,y], \mathfrak q = (x,y^2)$. A continuación,$A / \mathfrak q \cong k[y]/(y^2)$, en el que el cero divisores son todos los múltiplos de $y$, por lo tanto, son nilpotent. Por lo tanto $\mathfrak q$ es el principal, y sus radicales $\mathfrak p$$(x,y)$. Tenemos $\mathfrak p^2 \subset \mathfrak q \subset \mathfrak p$ (estricta inclusiones), por lo que la principal ideal no es necesariamente una fuente primaria de energía."