¿Por qué se definen así los espacios métricos cotizados?

Question

Desde Wikipedia :

Si $M$ es un espacio métrico con métrica $d$ y $\sim$ es una equivalencia sobre $M$ entonces podemos dotar al conjunto cociente $M/{\sim}$ con la siguiente (pseudo)métrica. Dadas dos clases de equivalencia $[x]$ y $[y]$ definimos $$ d'([x],[y]) = \inf\{d(p_1,q_1)+d(p_2,q_2)+\dotsb+d(p_{n},q_{n})\} $$ donde el mínimo se toma sobre todas las secuencias finitas $(p_1, p_2, \dots, p_n)$ y $(q_1, q_2, \dots, q_n)$ avec $[p_1]=[x], [q_n]=[y], [q_i]=[p_{i+1}], i=1,2,\dots, n-1$ . En general, esto sólo definirá una pseudométrico, es decir $d'([x],[y])=0$ no implica necesariamente que $[x]=[y]$ . Sin embargo, para las relaciones de equivalencia agradables (por ejemplo, las dadas pegando poliedros a lo largo de las caras), es una métrica.

1. Me pregunto por qué se define así la métrica del cociente.
2. En cambio, ¿qué tal si utilizamos la distancia entre dos subconjuntos del espacio métrico $$ d'([x],[y]) = \inf\{d(p,q)\} $$ el ínfimo se toma sobre todos los $(p,q)$ tal que $[p]=[x], [q]=[y]$ ?

Gracias y saludos.

Answer 1

Esto es para asegurar la desigualdad del triángulo. En su propuesta, puede ocurrir que $[p]$ y $[q]$ tienen representantes cercanos y $[q]$ y $[r]$ tienen representantes cercanos, pero los dos representantes de $[q]$ involucrados son diferentes, por lo que esto no garantiza que $[p]$ y $[r]$ tienen representantes cercanos, por lo que la desigualdad del triángulo puede ser violada.

Por otro lado, con la definición de Wikipedia, es sencillo verificar la desigualdad del triángulo, ya que cualquier cadena de puntos de $[p]$ a $[q]$ y cualquier cadena de puntos desde $[q]$ a $[r]$ pueden concatenarse para formar una cadena de puntos de $[p]$ a $[r]$ por lo que la desigualdad del triángulo se deduce de las desigualdades individuales del triángulo. En particular, en la situación anterior, podemos "saltar" de un representante de $[q]$ a la otra sin coste adicional.

Answer 2

Evidentemente, utilizando la definición de Wikipedia, siempre se obtiene una distancia menor o igual que bajo su propuesta. Si las definiciones no coinciden y se emplea tu propuesta, se viola la desigualdad del triángulo. La definición que encuentras en Wikipedia garantiza que la desigualdad del triángulo es válida. Así que voy a dar un ejemplo en el que la desigualdad del triángulo se viola bajo su propsal.

Dejemos que $A=\{(0,x):x\in[0,1]\}$ , $C=\{(1,x):x\in[0,1]\}$ y $B=\{(x,x):x\in(0,1)\}$ . Sea $X=A\cup B\cup C$ y dotarla de la métrica euclidiana. Partición $X$ en $A$ , $B$ y $C$ . Se puede hacer un camino desde $A$ a $C$ tienen una longitud arbitraria cercana a $0$ pero $d(A,C)=1$ según su propuesta.

Answer 3

Espero que un ejemplo muestre el problema:

Considere $X = \{ ±1, ±2, 1.1, 2.1 \}$ avec $d(x,y)=|x-y|$ y $\sim\, = \{\{1,-1\},\{2,-2\},\{1.1,2.1\}\}$ .

Entonces $$d([1],[2]) \leq d([1],[1.1]) + d([1.1],[2]),$$ pero si utilizamos cualquier tipo de definición infima, entonces $$d([1],[1.1]) \leq |1-1.1| = 0.1$$ y $$d([1.1],[2])=d([2.1],[2]) \leq |2.1-2|=0.1,$$ así que $$d([1],[2]) \leq 0.2 < |1-2|= 1$$

El uso de un supremum tendría el efecto impar que $d([1],[1])=d([1],[-1]) \geq 2$ por lo que el infimum parece natural, aunque esté un poco roto (sólo es una pseudométrica).

(La respuesta de Joriki indica el mismo ejemplo).