Sugerencia
Espectáculo $f$ es inyectiva. Muestran, además, que la imagen de la A. P. $1389+2010k$ incluye todos los números por encima de un cierto $C$. Así que no hay suficientes números para asignar el resto de los productos naturales, una contradicción.
P. S. la Adición de detalles. Para la facilidad de escribir, deje $C = 1+1389+1389^2+\dots + 1389^{2010}$$g(k)=2010k+1389$. Por lo tanto la condición que tenemos es $f\circ g\circ f(n) = C+n$.
1. $f$ es inyectiva
$f(a)=f(b) \implies f\circ g\circ f(a)=f\circ g\circ f(b) \implies C+a=C+b \implies a=b$, lo $f$ es inyectiva.
2. Imagen de $g(k)$ cubre todos los números por encima de C
Como $k$ corre a través de todos los números naturales, $g(k)$ se ejecuta a través de una progresión aritmética que debe contener todos los números de la forma $g\circ f(n)$, y, por tanto, $f\circ g(k)$ debe incluir todos los números de la forma $C+n$.
3. La contradicción
Los números naturales, después de la eliminación de la A. P. $g(k)$, todavía contiene infinitos números. Como $f$ es inyectiva se debe asignar a un conjunto de cardinalidad infinita. Sin embargo las posibilidades de la izquierda son números naturales $\le C$, un conjunto finito. Por lo tanto no hay tal $f$ puede existir.
