La desigualdad de $\frac{\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c}{2}\ge\frac{1}{\sqrt a}+\frac{1}{\sqrt b}+\frac{1}{\sqrt c}$, con una extraña condición

Question

Quiero demostrar la siguiente desigualdad: $$\frac{\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c}{2}\ge\frac{1}{\sqrt a}+\frac{1}{\sqrt b}+\frac{1}{\sqrt c}$$ Donde $a,b,c$ son positivos reales y con la horrible condición: $$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=2$$ Era un problema de la MEMO de 2011. Lo que he probado hasta ahora es la siguiente:

Hacer la sustitución $x=\frac{a}{1+a}$, $y=\frac{b}{1+b}$, $z=\frac{c}{1+c}$ así $a=\frac{x}{1-x}$, $b=\frac{y}{1-y}$, $c=\frac{z}{1-z}$. Las condiciones, a continuación, cambie a $x+y+z=2$ $0<x,y,z<1$ desde $\frac{a}{1+a}<1$, por lo que los otros dos términos. El original de la desigualdad cambia a: $$\frac{\sqrt \frac{x}{1-x}+\sqrt \frac{y}{1-y}+\sqrt \frac{z}{1-z}}{2}\ge\sqrt \frac{1-x}{x}+\sqrt \frac{1-y}{y}+\sqrt \frac{1-z}{z}$$ Ahora tenemos $y+z=2-x>1>x$, y del mismo modo $x+y>z$, $z+x>y$. Esto es equivalente a $x=u+v$, $y=v+w$ y $z=w+u$. Así que con este cambio de variables, la condición de $0<x,y,z<1$ desaparece. La otra condición es $(u+v)+(v+w)+(w+u)=2 \iff u+v+w=1$. La desigualdad cambia a: $$\frac{\sqrt \frac{u+v}{1-u-v}+\sqrt \frac{v+w}{1-v-w}+\sqrt \frac{w+u}{1-w-u}}{2}\ge\sqrt \frac{1-u-v}{u+v}+\sqrt \frac{1-v-w}{v+w}+\sqrt \frac{1-w-u}{w+u} \iff \frac{\sqrt \frac{u+v}{w}+\sqrt \frac{v+w}{u}+\sqrt \frac{w+u}{v}}{2}\ge\sqrt \frac{w}{u+v}+\sqrt \frac{u}{v+w}+\sqrt \frac{v}{w+u} \iff \sqrt \frac{u+v}{2w}+\sqrt \frac{v+w}{2u}+\sqrt \frac{w+u}{2v}\ge\sqrt \frac{2w}{u+v}+\sqrt \frac{2u}{v+w}+\sqrt \frac{2v}{w+u}$$ Estoy en lo cierto hasta el momento? La última desigualdad parece una especie de "belleza", ya que cada término en el lateral derecho tiene su recíproco en el lado izquierdo. Pero yo no era capaz de encontrar una solución a partir de allí, así que cualquier ayuda es muy apreciada! Gracias.

Answer 1

La condición de $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=2 \iff abc = a+b+c+2$, así como que se deduce a través de dos sucesivas sustituciones, podemos tener $$a = \frac{u+v}w, \, b = \frac{v+w}u, \, c = \frac{w+u}v$$ a conseguir $$\sum_{cyc} \sqrt{\frac{u+v}w} \ge 2 \sum_{cyc} \sqrt{\frac{w}{u+v}} \iff \sum_{cyc} \frac{u+v-2w}{\sqrt{w(u+v)}}\ge 0$$

Ahora tenga en cuenta que $u+v-2w$ $w(u+v)$ están dispuestas de forma opuesta y aplicar la desigualdad de Chebyshev. El uso de $\sum_{cyc} (u+v-2w)=0$ a concluir.

Answer 2

Procedimiento a partir de la última línea: "por el poder significa la desigualdad (o, más sencillamente, la AM-HM realidad, que es un caso especial) es suficiente con que $(\sqrt\frac{2w}{u+v}+\sqrt \frac{2u}{v+w}+\sqrt \frac{2v}{w+u})^2 \leq 9$ (de izquierda a usted! no es muy difícil). Motivación: el poder significa la desigualdad nos puede dar una desigualdad entre algunos de los números y sus recíprocos, que es justo lo que estábamos buscando.

Por lo tanto requerimos $\sqrt\frac{2w}{u+v}+\sqrt \frac{2u}{v+w}+\sqrt \frac{2v}{w+u} \leq 3$. Por Cauchy-Schwarz, todos necesitamos entonces es

$\frac{2w}{u+v}+\frac{2u}{v+w}+\frac{2v}{w+u} \leq 3$, o

$\frac{2-2(u+v)}{u+v}+\frac{2-2(v+w)}{v+w}+\frac{2-2(w+u)}{w+u} \leq 3$, o

$\frac{1}{u+v}+\frac{1}{v+w}+\frac{1}{w+u} \geq \frac{3}{2}$.

$f(x)=\frac{1}{x}$ es convexa, por lo que por la desigualdad de Jensen $\frac{1}{u+v}+\frac{1}{v+w}+\frac{1}{w+u} \geq 3 \frac{3}{(u+v)+(v+w)+(w+u)}=\frac{3}{2}$, y ¡listo!