Intersección no vacía de conjuntos convexos

Question

Supongamos que $X_1,\ldots,X_n$ son subconjuntos abiertos y convexos de $\Bbb R^d$ tal que para cualquier $i,j,k$ con $1\le i,j,k\le n$ tenemos $X_i\cap X_j\cap X_k\neq\emptyset$ . ¿Es posible que $\bigcap_{i=1}^n X_i$ ¿se encuentra vacía?

Answer 1

Para $d\leqslant 2$ la intersección es no vacía por Teorema de Helly . Si $d>2$ se puede denotar por $X_1,\ldots,X_{d+1}$ las vecindades de las facetas de un simplex en $\mathbb{R}^d$ para obtener un contraejemplo.