Supongamos $a_n$ es estrictamente decreciente y positiva y $\sum_{n>1}a_n/n=\infty$, vamos a $g:\mathbb N\to\mathbb N$ ser un bijection entre los enteros positivos, podemos tener $\sum_{n>1}a_n/g(n)<\infty$?
Respuestas
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Si $a_n$ va a cero, elegir una larga cuyas $n$th plazo es menor que $1/n$.
Ahora, para cualquier índice que no es una potencia de dos, par de $1/n$ con el término de la larga que es menor que $1/n$.
La suma de estos términos es menor que $\sum \frac 1 {n^2}=\pi^2/6$.
Par el resto de las $a_n$ con el resto de las $1/2^k$. Esto le da una serie que es menor que $\sum a_1 \frac 1 {2^n}=a_1$. (El $a_n$ están disminuyendo, y delimitada por $a_1$.)
Ya que todo es positivo, esto implica que la serie converge.
Joe Lencioni
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Podemos suponer, $a_n\searrow 0$ (de lo contrario, usted no puede hacerlo).
Elegir un subsequence $\{a_{n_k}\}$$a_{n_k}\le {1\over 2^k}$.
Escribimos nuestra nueva secuencia: $a_1/2, a_2/4, \ldots, a_{n_1-1}/2^{n_1-1}$
El siguiente término es $a_{n_1}/1$.
Para los términos después de $a_{n_1}$ y antes de $a_{n_2}$ seguimos la división por potencias de 2.
El siguiente término es $a_{n_2}/ 3$.
En general:
Términos de $a_i$ que no es un término de la larga se dividen por $2^i$. La serie formada por estos términos se reunirán desde el $a_i$ están disminuyendo y $\sum{1\over 2^n}$ converge
Un plazo $a_{n_k}$ se divide por el primer entero que no ha sido utilizado hasta ese momento. La forma de serie por estos términos claramente converge, ya que $a_{n_k}\le 2^{-k}$ e hicimos los términos más pequeños.
Por lo tanto, el resultado es una serie de términos no negativos converge.
Creo que esto funciona. Me gustaría probar a formalizar; pero estoy seguro de que haría un lío de cosas...
