Calcular el $\mathbb{E}[F(Y)]$

Question

Yo intente resolver este problema, pero tengo algunas dificultades para obtener un resultado claro.

El problema :

Sea X una variable aleatoria normal con media 0 y varianza 1 (es decir. $X\sim \mathcal{N}(0,1)$).

Sea Y una variable aleatoria normal con media de $m$ y la varianza $\sigma^{2}$ (es decir. $Y\sim \mathcal{N}(m,\sigma^{2})$).

X y y son variables aleatorias independientes.

Lo que quiero es calcular los $I=\mathbb{E}[\Phi(Y)]$ donde $\Phi$ es la función de distribución acumulativa (CDF) de $X$.

*Lo que he hecho está mal * Lo siento por mi inglés :)

Answer 1

Como leonbloy dice, usted sólo tiene que utilizar $$E[\Phi(Y)] = \int_{-\infty}^\infty \Phi(y)\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\,\mathrm dy.$$ Pero, en lugar de tratar de evaluar la integral directamente, consideramos que podemos escribir como $$\begin{align*} E[\Phi(Y)] &= \int_{-\infty}^\infty \Phi(y)\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\,\mathrm dy\\ &= \int_{-\infty}^\infty P\{X \leq y\}f_Y(y)\,\mathrm dy\\ &= \int_{-\infty}^\infty P\{X \leq y \mid Y = y\}f_Y(y)\,\mathrm dy\\ &= P\{X \leq Y\}\\ &= P\{X-Y\leq 0\}. \end{align*}$$ ¿Qué tipo de variable aleatoria es $X-Y$? Puede usted encontrar su media y varianza sin hacer ningún integraciones? Se puede escribir una expresión para esta probabilidad en términos de $\Phi(\cdot)$?