productos para tazas y productos para aplastar

Question

Estaba hojeando el libro de Goerss Formas modulares topológicas (según Hopkins, Miller y Lurie) para tratar de encontrar alguna motivación para querer un producto de espectros y en la página 1005-08 dicen que si se parte de una teoría de cohomología $h^*$ (representado por un espectro $K_*$ , lo que significa que $h^n(X)=[X,K_n]$ para cualquier espacio (apuntado) $X$ ) junto con un producto $h^p \otimes h^q \to h^{p+q}$ entonces `tomando ejemplos universales' se obtiene un mapa $K_p \wedge K_q \to K_{p+q}$ .

No veo realmente cómo se sigue el argumento. Si me dan un mapa $h^p \times h^q \to h^{p+q}$ Puedo construir fácilmente $K_p \times K_q \to K_{p+q}$ utilizando las proyecciones canónicas (en otras palabras $K_p \times K_q$ es el producto en Top).

Pero, como no hay morfismos obvios (al menos para mí) $K_p \wedge K_q \to K_p, K_q$ No sabría cómo obtener el morfismo reclamado.

¿Podría ser cierto que $[-,E\wedge K] = [-,E] \otimes [-,K]$ para espacios de bucles (infinitos) $E$ y $K$ ?

Answer 1

Creo que una forma de dar sentido a todo esto es la siguiente.

La forma "correcta" de definir una teoría de cohomología (reducida) con productos es, de hecho, utilizando el producto smash (véase la versión relativa de la fórmula de kunneth [Hatcher, Teorema 3.21]). Para ser un poco más precisos requerimos la existencia de un morfismo $$ h^p(X) \otimes h^q(Y) \to h^{p+q}(X\wedge Y)$$

por lo que si $h^*$ está representado por un espectro $\{K_n\}$ considerando las clases de cohomología correspondientes a los mapas de identidad de $K_p$ y $K_q$ esta estructura extra da de hecho un morfismo $$ K_p \wedge K_q \to K_{p+q}$$

Answer 2

En el álgebra multilineal un mapa bilineal $M\times N\to P$ , donde $M,N,P$ son módulos sobre un anillo $R$ está representado por un mapa lineal $M\otimes_R N\to P$ : necesitamos el producto tensorial para hablar de bilinealidad sin salir de la categoría de módulos y mapas lineales. Cuando $A=M=N=P$ Esto encaja $A$ con una estructura de producto $\mu$ es decir, la estructura de un $R$ -Álgebra.

En el caso de una teoría de cohomología $E^\cdot$ con valores en una categoría de $R$ -Sabemos que el módulo de cohomología de un espacio viene con una graduación natural. Si escribimos $F\otimes G$ para el functor $X\mapsto F(X)\otimes G(X)$ , donde $F,G$ toma valores en una categoría con productos tensoriales, una estructura de producto* en una teoría de cohomología es realmente una transformación natural $E^\cdot\otimes E^\cdot\to E^\cdot$ de $R$ -mapas lineales de módulos graduados, que se descomponen en morfismos $E^k\otimes E^l\to E^{k+l}$ .

Queremos que estos morfismos se representen en el nivel de los espectros, y como en el caso de los mapas multilineales necesitamos el producto smash $\wedge$ para hablar de "mapas bilineales" $E^\cdot\wedge F^\cdot\to G^\cdot$ sin salir de la categoría de los espectros. La definición en sí misma es sencilla: el functor de producto smash es conjunto a la izquierda de $\hom$ .

La prueba de su existencia, sin embargo, requiere una construcción, que resulta realmente difícil de proporcionar: ahora hay muchas de ellas, y por lo que sé todas tienen tanto puntos fuertes como débiles. Algunas, por ejemplo, sólo se comportan bien en "la" categoría de homotopía de los espectros, no en el nivel real de los mismos. Así que para responder a la pregunta de la última línea según mi conocimiento: sí, esto debería ser como mínimo lo que queremos.

*Para $E^\cdot$ cohomología singular ordinaria con valores en un $R$ -Álgebra $A$ la estructura del producto en $E^\cdot$ es inducido por el coproducto en los complejos de cadena $C_\cdot=C_\cdot(X,Y;A)$ el producto tensorial de las co-cadenas $\xi,\eta$ y el $R$ -estructura de álgebra $\mu$ en $A$ es decir, la composición $C_\cdot\to C_\cdot\otimes_R C_\cdot\stackrel{\xi\otimes\eta}{\to} A\otimes_R A \stackrel{\mu}{\to} A.$