la traza de la matriz $I + M + M^2$ es

Question

Deje $ \alpha = e^{\frac{2\pi \iota}{5}}$ y la matriz de $$ M= \begin{pmatrix}1 & \alpha & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4\\ 0 & \alpha & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4\\ 0 & 0 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha^3 & \alpha^4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \alpha^4 \end{pmatrix}$$

Entonces la traza de la matriz $I + M + M^2$ es

1. $-5$;
2. $0$;
3. $3$;
4. $5$.

Estoy atascado en este problema. Alguien me puede ayudar por favor?

Tengo la traza de la matriz $$\operatorname{tr}(I+M+M^2) = 7 + \alpha + 2 \alpha^2 + \alpha^3 + 2 \alpha^4 + \alpha^6 +\alpha^8.$$ Ahora, ¿qué hacer?

Answer 1

Tenga en cuenta que la traza de $M$$0$, ya que el $1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4= 0$.

También se $M$ es triangular superior, de modo que $M^2$ ha diagonal de los elementos, que son sólo los cuadrados de los elementos de la diagonal de a $M$, es decir,$1,\alpha^2, \alpha^4, \alpha^6, \alpha^8$.

Utilizando el hecho de que $\alpha^5 = 1$ vemos que la traza de $M^2$ es de nuevo $0$.

Así tr$(I+M+M^2)$ = tr$(I)$ = 5.