El resultado es un circuito que genera un 1 cuando el número de 1s en sus entradas es impar, y un 0 cuando el número de 1s entrantes es par.

Question

Decimos que un número entero $p>1$ es primo cuando sus únicos divisores positivos son $1$$p$. Deje $a$ $b$ número natural no tanto $1$. Probar que si $a^4+4^b$ es primo, entonces $a$ es impar y $b$ es incluso.

Yo también soy dado una pista:

Considere la posibilidad de la expresión de $(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)$.

Lo que tengo hasta ahora es:

Deje $x=a^2, y=2^b$ y sustituimos en la expresión.

Pero no estoy seguro de cómo proceder. Alguien puede ayudar por favor?

Answer 1

Es claro que $a$ debe ser impar, de lo contrario, el número será divisible por $2$.

Supongamos $b$ es impar. Entonces podemos escribir nuestro número como $a^4 + 4\cdot 4^{2n} = a^4 + 4 \cdot 2^{4n}$ algunos $n$. Te han dado la clave de la factorización, $$ (a^4 + 4 b^4) = (a^2 + 2ab + 2b^2)(a^2 - 2ab + 2b^2).$$ aquí, eso significa que $$ a^4 + 4 \cdot 2^{4n} = (a^2 + 2 a 2^n + 2\cdot 2^{2n})(a^2 - 2 a 2^n + 2\cdot 2^{2n}),$$ que es un trivial de factorización. Por lo tanto $b$ no puede ser impar.

A un lado:

Esta factorización de la identidad se llama Sophie Germain de la identidad, después de que los franceses mathematian y general polymath que se dio cuenta de que mientras que la exploración de la teoría de números. Ella correspondió con Gauss y Legendre, y asistió a clases en la recién fundada Escuela Politécnica. Para evitar el ridículo, ya que es extremadamente raro que las mujeres a estudiar matemáticas (o, de hecho, se les permitía continuar con un gran número de profesiones), se utiliza un macho de nombre de pluma para su correspondencia inicial.

Answer 2

Creo que la sugerencia es terrible y sólo los genios en la clase se puede obtener de inmediato. Me puse a $(x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2)$ en Wolfram Alpha y me dio $x^4 + 4y^4$ como una "forma alternativa."

Pero el problema dice "$4^b$", no "$4y^4$." Si eres un genio precoz puede observar que si $b$ es impar, entonces $$4^b = 4 \left(2^{\frac{2b - 2}{4}} \right)^4.$$ I'm not a genius, so it took me a while (three days, to be precise) to arrive at this. It was only then that the problem finally unraveled. Now we have $$a^4 + 4 \left(2^{\frac{2b - 2}{4}} \right)^4 = (a^2 - 2^{\frac{2b - 2}{2}} a + 2^b)(a^2 + 2^{\frac{2b - 2}{2}} a + 2^b).$$

Esto significa que con $b$ impar, la única manera para que el número resultante sea primo es de $(a^2 - 2^{\frac{2b - 2}{2}} a + 2^b)$ a la igualdad de $1$ o $-1$ de alguna manera. Hay cuatro posibles soluciones para que la ecuación, y que todos se descartó con la definición del problema (porque $a$ $b$ son números naturales no tanto igual a $1$, e $0$ es o no es un "número natural" -, pero que otra lata de gusanos). Por lo tanto, en virtud de las restricciones del problema, extraño $b$ da un número compuesto, por lo $b$ debe estar en orden para la expresión para dar un primer (esta es una condición necesaria pero no suficiente, por supuesto).

Veamos un ejemplo concreto: $a = 1$, $b = 3$. A continuación,$a^4 + 4^b = 65$, lo que obviamente es compuesto. Pero todavía tomar el tiempo para ejecutarlo a través de Sophie Germain de la identidad: $1 + 4^3 = 1 + 4 (2^1)^4 = (1 - 2 \times 1 \times 2 + 2 \times 2^2)(1 + 2 \times 1 \times 2 + 2 \times 2^2) = 5 \times 13$.

Como para la paridad de $a$, que, como Bob Happ dijo en un comentario, "es la parte fácil aquí."