Deje $T$ ser una teoría y deje $\phi,\psi$ ser declaraciones que son independientes de $T$. Decir que $\psi$ $T$- debilitamiento de $\phi$ si $T$ demuestra $\phi \Rightarrow \psi$ pero no puede demostrar $\psi \Rightarrow \phi$, y decir que $\phi$ $T$- basic-si no es $T$-debilitamiento de $\phi$.
Si $T$ es al menos tan fuerte como la aritmética de Peano, do $T$-basic oraciones siempre existen? Es $\phi$ $T$-básica al $T$ es ZFC menos infinito y $\phi$ es el axioma de infinitud?
Para cualquier teoría que es esencialmente incompleta , lo que significa que no existe una teoría completa de la ampliación-no hay frases básicas. Porque si $\phi$ es independiente, por lo que es $\lnot \phi$, y si $\phi$ no tiene ningún debilitamiento $T$ $\lnot \phi$ no tiene consistente fortalecimiento $T$, lo $T + \lnot \phi$ es una completa extensión de $T$.
La manera más técnica para decir esto es que el álgebra de Lindenbaum esencialmente incompleto de la teoría es siempre atomless. Cualquier teoría que interpreta la aritmética de Peano (o incluso interpreta algunos más débiles de la teoría aritmética) es esencialmente incompleta.
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