Otras aplicaciones del teorema de Liouville además de la termodinámica

Question

¿Existen otras consecuencias prácticas y teóricas importantes de Teorema de Liouville sobre la conservación del volumen del espacio de fase además del cálculo del potencial microcanónico en Termodinámica?

Answer 1

1) En un colector simpléctico $(M,\omega)$ El teorema de Liouville suele decir que cada Campo vectorial hamiltoniano $X_f=\{f,\cdot\}$ está libre de divergencias

$${\rm div}_{\rho} X_f~=~0 ,$$

donde la densidad de volumen $\rho$ proviene de la forma canónica del volumen

$$\Omega~=~\rho dx^1 \wedge \ldots \wedge dx^{2n}.$$

Aquí la forma canónica del volumen

$$\Omega~:=~\omega^{\wedge n}$$

es la máxima potencia exterior de la 2 forma simpléctica $\omega$ .

De forma equivalente, la derivada de Lie de la forma de volumen canónica

$${\cal L}_{X_f}\Omega~=~0,$$

con respecto a un campo vectorial hamiltoniano, desaparece.

2) Es interesante notar que el teorema de Liouville se generaliza a la simpléctica supermanifolds $(M,\omega)$ con estructura simpléctica de Grassmann.

3) Sin embargo el teorema de Liouville falla para las variedades simplécticas de Grassmann-impar, también conocidas como variedades antisimplécticas, o Colectores Batalin-Vilkovisky (BV) . Tales variedades no tienen una densidad de volumen canónica $\rho$ o bien. Sin embargo, supongamos que al menos existe algunos densidad de volumen $\rho$ . Entonces, la falta de divergencia de los campos vectoriales hamiltonianos se mide por el laplaciano impar

$$\Delta_{\rho} f ~=~\frac{(-1)^{|f|}}{2}{\rm div}_{\rho} X_f,$$

donde $|f|$ denota la paridad de Grassmann de la función $f$ .

Answer 2

Conservación de étendue es esencialmente lo mismo que el teorema de Liouville aplicado al espacio de los rayos de luz en la óptica geométrica. Esto es fundamental para óptica de no-imagen Por ejemplo, en el diseño de los faros de los coches o en la concentración de la luz solar en las células fotovoltaicas.

Answer 3

Aunque sé poco de esto, otras aplicaciones que he visto son en la física de los rayos, donde se puede argumentar sobre los rayos emitancia . En particular, se puede argumentar que la emitancia permanece constante en ciertas situaciones, utilizando el teorema de Liouville. Véase, por ejemplo este artículo .

Answer 4

Este teorema se ocupa de definir dos partes: una es la conservación de la densidad en el espacio de fase y la otra es la conservación de la extensión en el espacio de fase.