Demostrar que para cada $k$ allí es un entero finito $n = n(k)$ por lo que para cualquier color de lo números enteros $1, 2, . . . , n$ $k$ allí los colores son enteros distintos $a, b, c$ y $d$ del mismo color satisfactorio $a + b + c = d$
Respuesta
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Por el teorema de Ramsey podemos optar $n=n(k)$, de modo que, para cualquier colorante de la $2$-elemento de subconjuntos de un $n+1$-elemento de conjunto con $k$ a los colores, hay un $7$-elemento subconjunto cuyas $2$-elemento subconjuntos todos tienen el mismo color.
Ahora supongamos que los números de $1,2,\dots,n$ son de color con $k$ colores. El Color de la $2$-elemento subconjuntos del conjunto $\{0,1,2,\dots,n\}$ como sigue: si $x,y\in\{0,1,2,\dots,n\}$$x\lt y$, dar $\{x,y\}$ el mismo color que el número de $y-x$. Por lo tanto, hay números de $x_1\lt x_2\lt x_3\lt x_4\lt x_5\lt x_6\lt x_7$ de manera tal que todas las diferencias $x_j-x_i\ (1\le i\lt j\le7)$ tienen el mismo color.
Elija $i\in\{3,4\}$, de modo que $x_i-x_2\ne x_2-x_1$ y, a continuación, elija $j\in\{5,6,7\}$, de modo que $x_j-x_i\ne x_2-x_1,\ x_i-x_2$.
Deje $a=x_2-x_1,\ b=x_i-x_2,\ c=x_j-x_i$$d=x_j-x_1$. A continuación, $a,\ b,\ c,\ d$ son distintos, y $a,\ b,\ c,\ a+b,\ b+c$, e $a+b+c=d$ todos tienen el mismo color.
Alternativamente, seleccione$m=m(k)$, de modo que, para cualquier colorante de la $2$-elemento de subconjuntos de un $m+1$-elemento de conjunto con $k$ a los colores, hay un $4$-elemento subconjunto cuyas $2$-elemento subconjuntos todos tienen el mismo color, y deje $n=n(k)=2^m-1$.
Ahora supongamos que los números de $1,2,\dots,n$ son de color con $k$ colores. El Color de la $2$-elemento subconjuntos del conjunto $\{0,1,\dots,m\}$ como sigue: si $x,y\in\{0,1,\dots,m\}$$x\lt y$, dar $\{x,y\}$ el mismo color que el número de $2^y-2^x$. Por lo tanto, hay números de $x_1\lt x_2\lt x_3\lt x_4$ de manera tal que todas las diferencias $2^{x_j}-2^{x_i}(1\le i\lt j\le4)$ tienen el mismo color.
Deje $a=2^{x_2}-2^{x_1},\ b=2^{x_3}-2^{x_2},\ c=2^{x_4}-2^{x_3},\ d=2^{x_4}-2^{x_1}$. A continuación,$a\lt b\lt c\lt d$$a,\ b,\ c,\ a+b,\ b+c$, e $a+b+c=d$ todos tienen el mismo color.
Esta construcción puede ser mejorada mediante el uso de una secuencia de Sidón (también llamada regla de Golomb) $a_0,a_1,\dots,a_m$ en lugar de $2^0,2^1,\dots,2^m.$
