Resolver simultáneamente $2x \equiv 11 \pmod{15}$ y $3x \equiv 6 \pmod 8$

Question

Encuentra el menor número entero positivo $x$ que resuelve simultáneamente lo siguiente.

Nota: No me han enseñado el Teorema Chino del Resto, y he tenido problemas al intentar aplicarlo.

$$ \begin{cases} 2x \equiv 11 \pmod{15}\\ 3x \equiv 6 \pmod{8} \end{cases} $$

Intenté resolver cada congruencia individualmente.

La inversa de la primera es 8: $x \equiv 8\cdot11 \equiv 88 \equiv 13 \pmod{15}$ .

La inversa para el segundo es 3: $x \equiv 3\cdot6 \equiv 18 \equiv 2 \pmod{8}$ .

Pero no sé cómo ir a partir de aquí.

Answer 1

Procedamos con total ingenuidad y veamos a dónde nos lleva.

La primera congruencia equivale a $x \equiv 13 \pmod{15}$ . Esto es lo mismo que $x = 13 + 15n$ para cualquier número entero $n$ . Usemos esto en la segunda congruencia. $$\begin{align} 3x &\equiv 6 \pmod 8 \\ 3(13 + 15n) &\equiv 6 \pmod 8 \\ 39 + 45n &\equiv 6 \pmod 8 \\ 7 + 5n &\equiv 6 \pmod 8 \\ 5n &\equiv 7 \pmod 8. \end{align}$$ Esto le permite determinar una solución para $n$ . En particular, encontrará que $n \equiv 3 \pmod 8$ o más bien $n = 3 + 8l$ para cualquier número entero $l$ .

Volviendo atrás, vemos que $x = 13 + 15n = 13 + 15(3 + 8l) = 13 + 45 + 120l = 58 + 120l$ o más bien que $x \equiv 58 \pmod{120}$ . $\diamondsuit$

Answer 2

Hay que partir de la identidad de Bézout entre los módulos $15$ y $8$ : $\,2\cdot 8-1\cdot 15=1$ . De las soluciones a las congruencias individuales $\color{red} {13} \pmod{15}$ y $\color{red}2 \pmod{8}$ , se deducen las soluciones del sistema: $$2\cdot 8\cdot\color{red} {13}-1\cdot 15\cdot\color{red}2=178\equiv 58\pmod{120}.$$