Creo que he encontrado un error en Benjamin Pierce Categoría Básica de la Teoría de Equipo de Científicos de la prueba de la Básica Teorema del Límite. Esto generalmente significa que he entendido algo. Se puede señalar el error en el siguiente razonamiento?
Teorema: Vamos a $\textbf{D}$ ser un diagrama en una categoría $\textbf{C}$, con conjuntos de $V$ de vértices y $E$ de los bordes. Si cada $V$-indexada y cada una de las $E$-indexado de la familia de objetos en $\textbf{C}$ tiene un producto y cada par de flechas en $\textbf{C}$ tiene un ecualizador, a continuación, $\textbf{D}$ tiene un límite.
La prueba procede o menos como sigue:
Construir el producto $\Pi_{I \in V}D_I$ de los objetos en $\textbf{D}$. Construir el producto $\Pi_{(I \xrightarrow{e} J \in E)}D_J$. Para cualquier $\textbf{D}$-edge $D_e : D_I \rightarrow D_J$ hay dos maneras de $\Pi_{I\in V}D_I$ cualquier $D_J$. Esos son $\pi_J$$D_e \circ \pi_I$. Forman una familia de flechas de cada método. Cada familia induce una mediación de la flecha de$\Pi_{I\in V}D_I$$\Pi_{(I \xrightarrow{e} J \in E)}D_J$, llamar a los $p$$q$. Seleccione $e : X \rightarrow \Pi_{I\in V}D_I$ tal que $e$ iguala $p$ y $q$. $X$ es un límite de $\textbf{D}$.
Esto es bueno y conciso. Mi problema es este: ¿Qué pasa si hay dos $D_e : D_I \rightarrow D_J$? En ese caso, posiblemente hay muchos más que dos maneras de $\Pi_{I\in V}D_I$ a cada una de las $D_J$ y, potencialmente, muchos más de los que dos mediación de flechas $\Pi_{I\in V}D_I$$\Pi_{(I \xrightarrow{e} J \in E)}D_J$.
Tenga en cuenta que esto no afecta a la prueba: $\textbf{C}$ es asumido como una categoría pequeña, y no importa cuántas mediación de flechas que tienen entre los dos productos, usted puede mantener el apilamiento en ecualizadores hasta que haya igualado de todos ellos (punto en el que ha construido su límite).
Sin embargo, no hay mención de esto en el texto, y me deja preguntándome si estoy loco y/o la falta de algo que es obvio.
