Aquí hay una idea/pista para una prueba por diagonalización. Dado un conjunto contable de secuencias $C$ queremos hacer una secuencia $s$ que no está en el lapso de $C$ Es decir $s$ no es una combinación lineal de ningún subconjunto finito de $C$ .
Para ello, basta con hacer una $s$ tal que, para cada subconjunto finito $T$ de $C$ , digamos de tamaño $k_T = k$ Hay algunos $k+1$ coordenadas de $s$ tal que los vectores que obtenemos en $\mathbb{R}^{k+1}$ restringiendo $T$ a esas coordenadas no abarcan el vector en $\mathbb{R}^{k+1}$ que se obtiene al restringir $s$ a esas coordenadas. Esto garantiza que $s$ no está en el ámbito de $T$ .
Ningún conjunto de $k$ vectores en $\mathbb{R}^{k+1}$ puede abarcar $\mathbb{R}^{k+1}$ por lo que si elegimos un conjunto de nuevas coordenadas para cada subconjunto finito $T$ de $C$ podemos elegir valores de $s$ en esas coordenadas de forma adecuada para garantizar que se cumpla la condición anterior. Esto significa que sólo tenemos que establecer la construcción adecuada para que $s$ .
Por otra parte, existe un argumento más conocido que demuestra que ningún espacio de Banach de dimensión infinita puede tener una base contable; véase la pregunta Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach de dimensión infinita. Demostrar que toda base de Hamel de X es incontable. En este caso, sólo tenemos un espacio vectorial, por lo que las técnicas utilizadas allí no parecen ser aplicables.
