Básica contraejemplo re: preimages de ideales

Question

Estoy tratando de pensar en un ejemplo de un homomorphism de anillos conmutativos $f:A\rightarrow B$ e ideales $I,J$ $B$ tal que $f^{-1}(I)+f^{-1}(J)$ no es una preimagen de cualquier ideal de $B$. Me parece que no puede venir para arriba con uno... alguien sabe de uno?

Edit: Para aclarar algunos hechos básicos / de la cabeza de algunos errores:

Como Arturo puntos, podemos suponer $f$ es una inclusión. Quizás debería haber escrito la pregunta en términos de inclusiones en el primer lugar, pero, eh.

No, $f^{-1}(I)+f^{-1}(J)$ no es igual a $f^{-1}(I+J)$ en general. Un contraejemplo sería la inclusión de las $\mathbb{C}$$\mathbb{C}[x]$; considerar la posibilidad de $(x)$$(1-x)$.

Para mostrar un ideal de a $K\subseteq A$ no es una preimagen de cualquier ideal de $B$, es suficiente para mostrar que no es igual a $f^{-1}(Bf(K))$.

Answer 1

A menos que me estoy perdiendo algo, esta es la preimagen de la I+J (me he perdido algo... esto no es correcto)

Si $I,J$ son ideales en $B$$f^{-1}(I),f^{-1}(J)\subseteq f^{-1}(I+J)$$f^{-1}(I)+f^{-1}(J)\subseteq f^{-1}(I+J)$.

Por otro lado, si $x\in f^{-1}(I+J)$$f(x)=i+j,\; i\in I,j\in J$. Deje $a\in f^{-1}(I)$ tal que $f(a)=i$, e $b\in f^{-1}(J),\;f(b)=j$ $f(a+b)=i+j=f(x)$ $a+b=x+k$ donde $k \in ker(f)$. $ker(f)\subseteq f^{-1}(I)+f^{-1}(J)$ y $a,b\in f^{-1}(I)+f^{-1}(J)$, por lo que también se $x \in f^{-1}(I)+f^{-1}(J)$ y conseguir que la $f^{-1}(I+J)\subseteq f^{-1}(I)+f^{-1}(J)$

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ok, otro intento

deje $f:\mathbb{Z}[x]\rightarrow \mathbb{Q}[x]$ ser la inclusión de la función. Si $I=(x-3)\mathbb{Q}[x],\; J=x \mathbb{Q}[x]$, entonces su preimagen es $(x-3)\mathbb{Z}[x], \; x\mathbb{Z}[x]$ (que se usa aquí lema de Gauss). La suma de los preimages es que no todos los de $\mathbb{Z}[x]$ y contiene 3. Si es en sí mismo una preimagen de K, a continuación, se $3\in K$ $\mathbb{Q}[x]$ que es invertible, y para que esto se de $\mathbb{Q}[x]$ y obtenemos una contradicción.

Esperamos que este uno es aceptar....

Answer 2

Deje $k$ ser campo de la característica $\neq 2$, $A=k[x,y], B=k[x,y,x^{-1},y^{-1}]$ y tome $f:A\hookrightarrow B$ ser la inclusión. Ejemplo de lo que desea es $I=(x+y)B, J=(x-y)B$.

A continuación,$f^{-1}I=(x+y)A, f^{-1}J=(x-y)A$$f^{-1}I+f^{-1}J=(x,y)A$ . Desde $(x,y)B=B$, suma $f^{-1}I+f^{-1}J$ puede no ser $f^{-1}$ de ideal en $B$