¿Cuáles son los usos de la longitud adecuada como parámetro?

Question

Momento adecuado se utiliza para parametrizar la línea de mundo de una partícula móvil de una manera que es Lorentz invariante, que es elegante y potente. Puesto que espacio y tiempo son tratados generalmente en el mismo pie, yo esperaría una longitud adecuada para ser un parámetro de gran alcance de algún tipo, pero nunca me he topado con que se utilice de esta manera.

¿Cuáles son los usos de la longitud adecuada como parámetro?

Answer 1

Una distancia adecuada y correcta el tiempo son realmente el cálculo de la métrica disitance entre dos eventos. En relatividad general la infinitesimal métrica es:

$ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$

En la relatividad especial (con unidades donde $c=1$ ), el espacio-tiempo es plano, por lo que el Cartesiano métrica de Minkowski entre dos puntos es:

$\Delta s^2 = \Delta t^2 -\Delta x^2 -\Delta y^2 -\Delta z^2 $

En general, cuando se $c=1$,, $\Delta \tau$, y a la distancia correcta, $\Delta L$, están relacionados con la métrica por:

$\Delta L^2 = - \Delta \tau^2 = - \Delta s^2$

Así que para dos puntos que tienen un tiempo-como la separación, tales como dos puntos de la worldline de una enorme partícula, el tiempo apropiado será un número real positivo y es justo esta métrica se reescribe de la siguiente manera:

$\Delta \tau = \sqrt{ \Delta t^2 -(\Delta x^2 +\Delta y^2 +\Delta z^2)/c^2 }$

Donde he puesto la velocidad de la luz en forma explícita para dejar claro que el buen tiempo tiene dimensiones de tiempo. Tenga en cuenta que todos los observadores estarán de acuerdo sobre el valor de la adecuada de tiempo entre dos eventos en el worldline de una enorme partícula.

Ahora para los dos puntos que están en un espacio como el de la separación de este momento apropiado sería imaginaria así es la costumbre de volver a escribir como un real positivo a una distancia adecuada de la siguiente manera:

$\Delta L = \sqrt{\Delta x^2 +\Delta y^2 +\Delta z^2 - \Delta t^2 c^2 }$

Donde, de nuevo, he puesto la velocidad de la luz en forma explícita para dejar claro que la distancia adecuada tiene las dimensiones espaciales de distancia no de tiempo. si la ayuda de los taquiones existido, esta sería la distancia adecuada que todos los observadores están de acuerdo es que la distancia adecuada entre dos eventos en el mundo de la línea de un taquión. Incluso sin la ayuda de los taquiones, la distancia adecuada entre las dos es como el espacio, separados de los eventos es la distancia espacial entre los eventos en un marco de referencia donde se midió a ser simultánea (por espacio, separados eventos siempre hay un cuadro en el que será simultánea - este de la relatividad de la simultaneidad).

Tenga en cuenta que para partículas sin masa, como los fotones, $\Delta \tau = \Delta L = 0$.

Así que realmente no hay ninguna diferencia fundamental entre el momento adecuado y a una distancia apropiada - ambos son diferentes formas de representar la misma métrica que sucede a dar un número de eventos en el tiempo o el espacio-como el caso de las separaciones, respectivamente.

Answer 2

Longitud adecuada como un paralelo de tiempo apropiado es el de Minkowski de la longitud de un espacio como el de la curva. Estos no son particularmente útiles, en parte porque en general le bucle de ida y vuelta en el tiempo, según muchos observadores, lo cual es raro igual.

Esto es útil, sin embargo, para describir cuantitativamente el spacelike separación entre dos eventos. Se spacelike separados, los dos eventos pueden ser vistos como simultáneas en algunos marco del resto; la distancia entre ellos en este marco es su correcta separación de longitud. Es la mayor separación observable entre las dos localidades, debido a la contracción de longitud. Para el co-movimiento de los objetos, la longitud adecuada entre ellos es la única manera significativa de decir lo lejos que están.