Puedo crear una secuencia de conjuntos distintos y que $F$ es infinito numerable. Estoy buscando para crear un conjunto de potencia de un conjunto infinito numerable, supongo, pero no estoy acostumbrado a vadear tan profundo en la teoría de conjuntos. Estoy estudiando libro de Bass en el análisis de posgrado para preparar una clase de este otoño. Este es ejercicio 2.6.
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Davide Giraudo
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Por inducción podemos construir una secuencia $(A_n)_{n\geqslant 1}$ de elementos disjuntos no vacía de $\mathcal F$. De hecho, desde $\Omega$ no es vacía, entonces se puede escribir como $\Omega=A\cup B$ $A,B\in\mathcal F$ dos no vacío elementos separados. Luego definir $A_1:=A$ y luego trabajar con $B$. Este conjunto puede ser escrito como $B'\cup B'$; elegir $A_2:=B'$ y trabajo con $B''$, etcetera...
A continuación, defina el mapa inyectiva $$\iota\colon 2^{\mathbb N}\to\mathcal F,I\mapsto \bigcup_{i\in I}A_i.$ $
Supongo que la redacción debe ejecutar "la unión de al menos dos disjuntos no vacíos establece," o $\sigma$-álgebra $\{\{\},X\}$ califica. Dado este supuesto, se puede incluir un infinito árbol binario, es decir, una en la que los nodos $a_{i,j}$ donde $j\leq 2^i$ $i$ ejecución $\mathbb{N}$, en su álgebra. Este es incalculable, porque es en bijection con secuencias infinitas de $1$$0$.
A continuación, asigne $a_{0,0}$ para el elemento maximal $X$ de la $\sigma$-álgebra. $X$ es un discontinuo de la unión de $Y\sqcup Z\sqcup...$-permitir que ellos sean su $a_{1,0}$$a_{1,1}$. Continuar utilizando el inductivo hipótesis de que cada una de las $a_{i,j}$ es disjunta de los conjuntos en su propio nivel de $i$, disjunta de o contenidas correctamente en los niveles anteriores, y viceversa. A continuación, en la descomposición nunca vas a elegir un elegido previamente establecido de nuevo, o que le han elegido algunos $a_{i,j}\subset a_{i,j'}$, que contradice la hipótesis.
Tom Oldfield
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EDIT 1: De hecho, como se señaló en los comentarios, $\sigma$- álgebras de hacer existir (originalmente había reclamado una prueba de que ellos no) y el método de abajo a simplemente le da una forma distinta de resolver el problema.
EDIT 2: De hecho, ahora me doy cuenta de que el lema de Zorn no es necesaria en absoluto.
Supongamos $\mathcal{F}$ es como se describe, y contables. Deje $x \in X$ y definen $S = \{ F \in \mathcal{F} : x\in F\}$. Esto es no vacío (como $X \in S$) y contables desde $\mathcal{F}$ es contable. A continuación, $S^*$ definida como la intersección sobre todos los conjuntos en $S$ se encuentra en $\mathcal{F}$ (desde $\mathcal{F}$ $\sigma$- álgebra) y contiene a $x$ puesto que cada elemento de a$S$. Pero por hipótesis, se puede escribir $S^*$ como una unión de dos disjuntos no vacíos conjuntos de $A$$B$. Sin pérdida de generalidad, $A$ contiene $x$ y es estrictamente contenida en $S^*$. Pero $A$ se encuentra en $S$, por lo que contiene $S^*$, dando una contradicción.
