Problema de valor esperado con un Oso Polar con una máquina de escribir

Question

Un oso polar comienza a escribir un $80$ carácter de palabra en una máquina de escribir, donde cada la carta tiene la misma probabilidad de ocurrir (no hay otros símbolos o espacios puede ocurrir, sólo letras). Quiero averiguar el número esperado de veces la frase "PANDA" se produce en la sentencia.

Puedo ver que el "PANDA" se puede producir un máximo de $\frac{80}{5} = 16$ veces dentro de la palabra. Puedo ver, en general, un boceto de cómo obtener el primer término, desde Yo pensaba originalmente que Me puede "PANDA" en $76$ espacios, a continuación, coloque el resto de la posible cartas de $(26)^{75}$ maneras. Cuando nos comparamos con el número de $80$-carácter las cadenas de letras disponibles, en el que, supongo, uno podría pensar que el primer término sería $$\frac{76 (26)^{75}}{(26)^{80}},$$

pero, obviamente, esto también se tiene en cuenta los casos en que "PANDA" se muestra también en el otro $75$ caracteres en la cadena. Es allí una manera razonable para quitar las observaciones de este término? Me gustaría saber esto para Yo también cuenta para su eliminación en períodos posteriores. De lo contrario, hay más razonable, de manera de calcular este valor esperado?

Answer 1

Sólo tiene que utilizar la linealidad de la expectativa.

Sea $s_1,s_2,\dots s_{80}$ los caracteres escritos por el oso polar.

Sea la variable aleatoria de indicador, $e_j$, $1$ si $s_j,s_{j+1},s_{j+2},s_{j+3},s_{j+4}$ hechizos PANDA.

La variable aleatoria que buscas es $\sum\limits_{j=1}^{76}e_j$

Porque todos $j$: $\mathsf P(e_j{=}1)=1/26^5$, por lo tanto, su expectativa es: $76~\mathsf E(e_1)=\dfrac{76}{26^5}$

Answer 2

Vamos a simplificar el problema para encontrar la probabilidad de que la escritura de un determinado $5$ cadena de caracteres $5$ personajes. Claramente esto es $26^{-5}$ ya que hay $26$ letras para elegir, y cada uno es independiente.

Así que lo que si estamos escribiendo un determinado $5$ cadena de caracteres dentro de $10$ personajes? Se puede escribir bien $0$, $1$ o $2$ ocasiones, la última opción de la cadena escrito dos veces, espalda con espalda, comenzando en la $1$st $6$th posición. Pero podemos pasar por alto cuando la cadena viene dos veces, ya que tiene el mismo efecto en el valor esperado como si la cadena de vino en cualquiera de esas posiciones a tan sólo una vez*. Ya sabemos que la escritura es una vez en la primera $5$ personajes tiene probabilidad de $26^{-5}$, y lo mismo es cierto para partir en cualquier otro lugar. Por lo que la probabilidad de escribir la cadena una vez que se $6\cdot26^{-5}$ ya que se puede iniciar en cualquiera de las $6$ posiciones. Así que nuestro valor esperado será $6\cdot26^{-5}$. Tenga en cuenta que $6=10-5+1$.

Volviendo al problema original, la probabilidad de escribir la cadena una vez que se $26^{-5}$, pero ahora se puede escribir en $80-5+1=76$ diferentes lugares. Por lo tanto, la probabilidad de la escritura en cualquiera de ellos es $76\cdot26^{-5}$. Y de nuevo, podemos ignorar la cadena ser escrito dos veces, o cualquier otro número de veces, por el hecho de que tiene el mismo efecto general sobre la probabilidad.

Por lo tanto, nuestra respuesta final, como CarryOnSmiling dicho en menos palabras es $76\cdot26^{-5}$. El oso aún tendría un hecho especialmente máquina de escribir, aunque. Dejarme un comentario si crees que me he explicado nada mal.

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*Lo que quiero decir aquí es que si $A$ es que la cadena comienza en el $1$st, pero la posición de $B$ es que lo hace en el $1$st y el $6$th, a continuación,$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)$. Lo mismo sería cierto si $A$ fueron acerca de la $6$th posición en su lugar.

Answer 3

$\frac {76}{26^5}$ que se espera que el número de apariciones de la cadena de PANDA.

Para responder a una pregunta más difícil, ¿cuál es la probabilidad de que PANDA aparece al menos una vez.

$\frac {76}{26^5}$ es un buen lugar para empezar, pero es largo de contar la posibilidad de que PANDA aparece dos veces en la cadena.

Supongamos PANDA aparece al menos una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca una segunda vez? Digamos que el de la P en PANDA es el $n^{th}$ letra de la cadena. luego hay $(n-6)$ los lugares posibles en el lado izquierdo de $n,$ $(72-n)$ lugares para iniciar una segunda PANDA en el lado derecho de la A.

$(\sum_\limits{n=1}^{5} (72-n) + \sum_\limits{n=6}^{71} 71 + \sum_\limits{n=72}^{76} (n-6))\cdot \frac {1}{26^{10}}$

$\frac {76}{26^5} - (71\cdot76-20)\cdot \frac {1}{26^{10}}$

Pero hasta ahora el trabajo es contar la posibilidad de que existan más de 2 PANDAS en la cadena (en ambos cálculos).

Hemos triple contado con la posibilidad de 3 PANDA en ambos cálculos, por lo que los que deben cancelar.

Nos Quaduple recuento de las instancias, de 4 de PANDA, en un cálculo, pero 6-tupla contar en el otro.

Entonces, lo que tenemos aquí no es fiable al 100%, que está muy cerca.