$|f(x)-f(y)|\geq k|x-y|$. $f$ Es biyectiva y su inversa es continua.

Question

Mi ejercicio dice: Let $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una función continua e Supongamos que existe $k$ tal que:

$$|f(x)-f(y)|\geq k|x-y|$$

$f$ Es biyectiva y su inversa es continua.

Bueno, hay un teorema de la invariación del dominio, dice

"Si $U$ es un subconjunto abierto de $\mathbb {R^n}$ $f : U \rightarrow\mathbb{R}$ es un mapa continuo inyectivo, entonces está abierto $V = f(U)$ y $f$ es un Homeomorfismo entre $U$y $V$".

Pero no estoy sabiendo cómo proceder... necesidad de una pista... ¡Gracias por la atención!!!!!!

Answer 1

Ciertamente, usted no necesita la invariancia del dominio.

Demostrando que $f$ es inyectiva es fácil: si $f(x)=f(y)$,$|f(x)-f(y)|=0$, y por lo tanto ... ?

Una vez que hemos demostrado que el $f$ es inyectiva, considere la posibilidad de $f(0)$$f(1)$; no pueden ser iguales, por lo tanto el $f(0)<f(1)$ o $f(0)>f(1)$. Muestran que en el primer caso $f$ debe ser estrictamente monótona creciente, y en el segundo caso debe ser estrictamente monótona decreciente; necesitará el hecho de que $f$ es continua.

Después de haber demostrado que $f$ es estrictamente monótona, puede utilizar el hecho de que $|f(x)-f(y)|\ge k|x-y|$ todos los $x,y\in\Bbb R$ a mostrar que el rango de $f$ es ilimitado en ambas direcciones. A continuación, puede utilizar la continuidad de nuevo para mostrar que $f$ es surjective y, por tanto, un bijection.

En este punto se debe ser fácil demostrar que si $I$ es un intervalo abierto en $\Bbb R$, $f[I]$ también es un intervalo abierto, lo que implica inmediatamente que $f^{-1}$ es continua.