Aproximadamente: Esta pregunta se refiere a que el proceso y la naturaleza constructiva de la formalización y demostrando categoría teórica declaraciones dentro de $\textsf{ZFC}$.
$\textsf{ZFC}$ sólo puedo hablar de conjuntos, mientras que la correcta clases en vivo en el metatheory como explícito de primer orden fórmulas. Las declaraciones acerca de las clases son siempre debe interpretarse como esquemas en la metatheory de $\textsf{ZFC}$ inicio con algunos (meta-teórico) cuantificación "Para cualquier fórmula $\phi(x)$, ...".
En particular, esto se aplica a los no-categorías pequeñas. Una declaración acerca de algunos de la familia de las categorías tiene que ser interpretado como un esquema en el metatheory comienzo con "Para cualquiera de las tres fórmulas $\text{Obj}(x)$, $\text{Mor}(x,y,z)$, $\text{Comp}(x,y,z,f,g,h)$ la definición de los objetos, morfismos y composiciones de una categoría [tal vez algunas propiedades adicionales], ...". La meta de la teoría de la cuantificación se hace más en el caso de varias categorías y/o functors entre las categorías y/o transformaciones entre functors se dan.
Las preocupaciones anteriores a la traducción de la hipótesis de una categoría de la teoría de la instrucción en la meta-teoría de la $\textsf{ZFC}$. Como para la conclusión, es posible que sólo las preocupaciones de algunas de las propiedades de las categorías bajo consideración, como 'En cualquier abelian categoría epimorphisms son estables bajo retroceso'; en este caso, la conclusión es una sola fórmula de $\textsf{ZFC}$, por lo que la declaración se traduce en un meta-teórico esquema de la forma "Para cualquier fórmulas $\phi,\psi,...$, $\textsf{ZFC}\vdash \text{(Some explicit formula involving }\phi,\psi,...\text{)}$".
Esto es diferente si la conclusión se refiere a la existencia de ciertas categorías, functors, natural de transformaciones... de Nuevo, ya que no se puede cuantificar la más adecuada clases dentro de $\textsf{ZFC}$, la formalización de una declaración de un esquema en el metatheory de $\textsf{ZFC}$ requiere que los objetos cuya existencia es reclamado puede ser definido explícitamente, dentro de la finitistic meta-teoría, ya que algunos de primer orden fórmulas.
Observación: las Pruebas de las declaraciones acerca de la existencia de categorías y functors tiene que ser explícito constructivo cuando debieran ser formalizable dentro de $\textsf{ZFC}$
Mi pregunta ahora es, simplemente:
Pregunta: Son la mayoría de la existencia de resultados de la categoría estándar de la teoría, de hecho constructivo?
Tengo la duda de que este es el caso, lo que significaría que $\textsf{ZFC}$ es realmente insuficiente para la formalización de la categoría de teoría, ni siquiera en principio. Por ejemplo, considere la declaración:
Ejemplo: Cualquier plenamente fiel y esencialmente surjective functor es una equivalencia
Cómo formalizar esta en $\textsf{ZFC}$? Es allí cualquier manera de derivar de cualquier familia de las fórmulas de la definición de dos categorías ${\mathscr C},{\mathscr D}$ y totalmente fieles y esencialmente surjective functor ${\textbf F}:{\mathscr C}\to{\mathscr D}$ entre ellos tres fórmulas de definición de una función inversa functor ${\textbf G}: {\mathscr D}\to {\mathscr C}$ y equivalencias ${\textbf F}{\textbf G}\cong\text{id}_{\mathscr D}$${\textbf G}{\textbf F}\cong\text{id}_{\mathscr C}$?
Como en el desarrollo de (pequeños) categoría de la teoría dentro de $\textsf{ZF}$, uno podría tratar de resolver este problema mediante el uso de anafunctors en lugar de functors. Es decir, las declaraciones acerca de functors debe ser formalizado como en los planes de la meta-teoría sobre las fórmulas de definición de anafunctors; básicamente, esto significa que debemos ignorar este único tema de forma explícita invertir totalmente fieles y densa functors formalmente por la adición de sus inversos.
Pregunta B: ¿Pregunta tiene una respuesta positiva en el caso de functors siempre están formalizados como anafunctors?
Por ejemplo, uno podría considerar ahora más complicado declaraciones como la que adjunto functor teorema y preguntar si pueden formalizarse dentro de $\mathsf{ZFC}$ cuando anafunctors se utilizan en lugar de functors. En otras palabras: son las pruebas constructiva a invertir totalmente fieles y densa functors?
Aclaración: (1ª edición) Por "constructiva" sólo hago referencia a las pruebas de la existencia de las declaraciones sobre las categorías y functors: me pregunto si (tal vez hasta la formal inversión de fieles y densa functors a través del uso de anafunctors) de las pruebas de tales afirmaciones que uno puede extraer explícito de primer orden de las fórmulas de la definición de las categorías deseadas y (ana)functors.
Entonces, y sólo entonces, la declaración podría, de hecho, por formalizado como un esquema en el meta-teoría de la $\textsf{ZFC}$.
No necesariamente quiere para sustituir a $\textsf{ZFC}$ $\textsf{ZF}$ o incluso algunos intuitionistic conjunto de teorías. Mi principal objetivo es entender si $\textsf{ZFC}$, en principio, puede servir como una casa para la categoría básica de la teoría a través del uso de esquemas en la meta-teoría.
Por ejemplo, aunque improbable, es que no me queda claro si podría ser un algoritmo de giro de las fórmulas que describen completamente fiel y densa functor en otra fórmula que describe un cuasi-inversa.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Su primera observación ha sido desarrollado por Bénabou en su papel citadas a continuación.
Mi experiencia con la categoría de la teoría indica que la respuesta a la Pregunta es Sí después de la eliminación de aplicaciones inútiles de la global axioma de elección, que se utiliza especialmente en el teorema que es totalmente fiel esencialmente surjective functors son equivalencias. Por qué inútil? La mayoría de equivalencias de categorías en la práctica aparecen como adjunto equivalencias donde la pseudo-inversa functor, así como de la unidad y counit, ya están dadas.
Es a menudo denostado que ZFC no nos permiten hablar de la categoría de todos los functors $\mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$. Antes de pasar a los más sofisticados fundaciones (Grothendieck universos, homotopy tipo de teoría, etc.), primero que deberíamos preguntarnos es si realmente es necesario hablar de esta naturaleza categoría. Yo diría que ZFC no es capaz de formalizar todos los de la categoría de la teoría, sino que es capaz de formalizar el 99% de la categoría correspondiente para la práctica.
Los siguientes documentos de acuerdo con ZFC-fundamentos de la categoría de teoría:
Feferman, Salomón, y G. Kreisel. "Fundamentos teóricos de la categoría de teoría." Informes del centro-oeste de la Categoría III Seminario. Springer Berlin Heidelberg, 1969.
Bénabou, Jean. "Fibrado categorías y los fundamentos de ingenuo categoría de teoría." El Diario de la Lógica Simbólica 50.01 (1985): 10-37.
Shulman, Michael A. "la teoría de conjuntos para la categoría de teoría." arXiv preprint, arXiv:0810.1279 (2008).
