Símbolo de Christoffel en términos de $\sqrt{|g|}$

Question

Estoy tratando de comprender la conversión de

$$\Gamma^{\mu}_{\mu \nu} = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_{\nu}(\sqrt{|g|})$$

donde $g=\det{g_{uv}}$

Trabajando, llego a esta forma de la conexión

$$\Gamma^{\mu}_{\mu \nu} = \frac{1}{2} g^{\mu\lambda} \partial_{\nu} g_{\mu\lambda}$$

a partir de aquí, estoy atascado en la forma de aplicar el factor determinante para la métrica y quitar el $1/2$

De mi teoría de la relatividad general de los libros de texto, Carroll lleva a la transformación de coordenadas y se aplica el factor determinante para ambos lados.

$$g_{\mu' \nu'} = \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}} g_{\mu \nu}$$

$$g(x^{\mu'}) = \Big| \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}} \Big|^{-2}\ g(x^{\mu})$$

¿Por qué es el Jacobiano elevado a la potencia de -2? Y ¿de dónde viene la raíz cuadrada?

Answer 1

Para mí que parece ser dos completamente diferentes preguntas. Primero de todo, $$\tag{1} \Gamma^{\mu}_{\mu \nu} = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \partial_{\nu}(\sqrt{\det g})$$ es equivalente a $$\Gamma^{\mu}_{\mu \nu} = \frac{1}{2} g^{\mu\lambda} \partial_{\nu} g_{\mu\lambda},$$ ya tenemos la Jacobi de la fórmula: $$\frac{d}{dt} \log\det(A(t)) = \text{tr}(A^{-1} A'(t)).$$ Esto implica (tenga en cuenta que yo no uso, $g$ a representar el determinante, como se hace) $$\partial _v \det{g} = (\det g) \text{tr} (g^{-1} \partial _v g) = (\det g)g^{\mu\lambda}\partial_\nu g_{\mu\lambda}$$ y $(1)$ sigue a partir de la regla de la cadena (por supuesto que también explican la $\frac 12$, que proviene de los derivados de la $\sqrt{\cdot}$ ).

Para la segunda pregunta, tenga en cuenta que como matriz de la ecuación, $$g_{\mu' \nu'} = \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}} g_{\mu \nu}$$ está escrito como

$$g' = J g J^T,$$

donde $J$ es la matriz dada por $J_{\mu'\mu} = \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}$. Esto implica

$$\det g' = \det J \det g \det J^T = \det J^2 \det g = (\det J^{-1})^{-2} \det g.$$

Desde $J^{-1}$ es la matriz con el coeficiente de $\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}$, la última igualdad se justifica.