El "diagrama mágico" es cartesiano

Question

Estoy tratando de resolver un ejercicio de Vakil de notas de la conferencia en la geometría algebraica, es decir, quiero mostrar que

\begin{matrix} X_1\times_Y X_2 & \longrightarrow & X_1\times_Z X_2 & \\\\ \downarrow & & \downarrow & & \\\\\ Y & \longrightarrow & Y \times_Z Y &\\\\ \end{de la matriz}

es un diagrama cartesiano. Creo que me he dado cuenta de que los mapas provienen de: La parte inferior del mapa es la diagonal inducida a partir de la característica universal de $Y \times_Z Y$, la parte superior del mapa proviene de la característica universal de $X_1\times_Z X_2$ (este es uno de los ejercicios anteriores de Vakil notas), el mapa de la derecha también proviene de la característica universal de $Y \times_Z Y$ ya que tenemos dos mapas de $X_1\times_Z X_2$ $Y$cuya composición con $Y\rightarrow Z$ coincide, y, finalmente, el mapa en el lado izquierdo es la composición de la $X_1\times_Y X_2 \rightarrow X_i \rightarrow Y$. En este punto, no quiero ni ver por qué este diagrama debe ser conmutativa.

Pero incluso descartando el tema de la conmutatividad, teniendo en cuenta algunas $T$ en lugar de $X_1\times_Y X_2$ hacer el diagrama anterior viaje, no tengo ni idea de cómo obtener un canónica mapa de $T \rightarrow X_1\times_Y X_2$.

Yo podría resolver todos los demás problemas en esta sección de sus notas, pero esto se me escapa. Cualquier ayuda o solución (preferiblemente con sólo el uso de las propiedades universales que nos ha dado), sería muy apreciado.

Answer 1

Primero, ¿qué es el diagrama conmutativo: tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

Es conmutativa porque, precisamente, esta es la forma en que hemos definido el mapa de $X_1 \times_Y X_2 \to X_1 \times_Z X_2$. La parte inferior derecha de la plaza se utiliza para definir $Y \to Y \times_Z Y$.

Ahora, el diagrama es conmutativo iff los dos mapas de $X_1 \times_Y X_2 \to Y \times_Z Y$ son iguales, iff cada componente de los mapas son iguales.

• El camino rojo se utiliza para definir el (primer componente de la) mapa de factores a través de $X_1 \times_Y X_2 \to X_1 \times_Z X_2 \to Y \times_Z Y$
• La ruta azul se utiliza para definir el (primer componente de la) mapa de factores a través de $X_1 \times_Y X_2 \to Y \to Y \times_Z Y$.

Como se puede ver, son iguales. Por lo tanto, la magia del diagrama de desplazamientos.

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Ahora, la característica universal. Supongamos que usted está dada $T \to X_1 \times_Z X_2$ $T \to Y$ tal que los dos mapas de $T \to Y \times_Z Y$ son iguales. En otras palabras, te dan mapas $T \to X_1$, $T \to X_2$ y $T \to Y$, de tal manera que los dos mapas de $T \to X_i \to Z$ son iguales, y los mapas de la ruta azul y el rojo la ruta de acceso son iguales (donde $T$ está en la posición de $X_1 \times_Y X_2$). Como se puede ver, esto es precisamente lo mismo que dar dos mapas de $T \to X_i$ tal que $T \to X_i \to Y$ son iguales, porque entonces el hecho de que los mapas en $Z$ son iguales, es una consecuencia del hecho de que los mapas en $Y$ son iguales. Así que hay un único mapa $T \to X_1 \times_Y X_2$ haciendo todo lo que conmutan.

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Teniendo en cuenta que Vakil introduce la Yoneda lema después de este ejercicio, que no me atrevía a dar la prueba de uso. Pero por el Yoneda lema, usted puede considerar el caso de conjuntos; en las ecuaciones que voy a escribir, llegará a la misma conclusión: que dando los mapas que hacen que todo conmutar le dará un redundantes condición de que las imágenes en $Z$ son los mismos, y que el fibrado de productos de todo el asunto es el fibrado de productos a través de $Y$.

Answer 2

Aquí están algunas sugerencias. Primero de todo, cuando las cosas parecen muy claras, ayuda a considerar la categoría de conjuntos. En este caso, el conjunto $X_1 \times_Y X_2$ se compone de pares de $(x_1, x_2)$ que tienen la misma imagen en $Y,$ y el compuesto $X_1 \times_Y X_2 \to Y \to Y \times_Z Y$ envía $(x_1, x_2) \mapsto (y, y),$ donde $y$ es la imagen común de $x_1$ $x_2.$ Por otro lado, $X_1 \times_Z X_2$ se compone de pares de $(x_1, x_2)$ cuando la $x_i$ tienen la misma imagen en $Z$. En particular, este conjunto naturalmente contiene $X_1 \times_Y X_2,$ y el compuesto $X_1 \times_Y X_2 \to X_1 \times_Z X_2 \to Y \times_Z Y$ $(x_1, x_2) \mapsto (y, y)$ - el mismo que antes! Así que hemos conmutatividad en el nivel de los conjuntos, y la misma cosa "debe trabajar" en el nivel de los sistemas como así. Acaba de reformular mediante el functor de puntos o propiedades universales (esto es ciertamente un poco engorroso).

Pero que quieres mostrar que la plaza es cartesiano. Bien de nuevo, estoy seguro de que esto se puede hacer utilizando propiedades universales de los argumentos (o functor de los puntos, probablemente más fácilmente), pero a veces puede ser más fácil llegar hasta el sucio, por así decirlo. Recordando la definición de la fibra de producto, es más o menos evidente que la que usted puede reducir al afín caso. Así que vamos a $A, B, C_1, C_2$ anillos. Quiere mostrar que $B \otimes_{B \otimes_A B} (C_1 \otimes_A C_2) \approx C_1 \otimes_B C_2.$, de Nuevo, no es la manera elegante y la fuerza bruta. Para este último caso, tenga en cuenta que el lado izquierdo es generado por los tensores de la forma $b \otimes (c_1 \otimes c_2).$ Pero puede utilizar el $B \otimes_A B$-álgebra estructura de la siguiente manera: $b \otimes (c_1 \otimes c_2) = (b \otimes 1) [1 \otimes (c_1 \otimes c_2)] = 1 \otimes (b \otimes 1)(c_1 \otimes c_2) = 1 \otimes (bc_1 \otimes c_2).$ mediante $1 \otimes b$, en lugar de llegar a $c_1 \otimes bc_2.$, En cualquier caso, ahora tiene una evidente mapa de los generadores, y tiene que demostrar que las relaciones se corresponden.

Este es el meollo del asunto. Como ya he dicho varias veces, el argumento puede ser corta en muchos puntos por la sustitución de un explícito de verificación mediante la construcción de un universal argumento de propiedades, y este es probablemente el camino a seguir. El anterior trabajo explícito puede ayudar a encontrar la demostración elegante.