Cómo probar que$\frac{10^{\frac{2}{3}}-1}{\sqrt{-3}}$ es un número entero algebraico

Question

Como dice el título, estoy tratando de mostrar que $\frac{10^{\frac{2}{3}}-1}{\sqrt{-3}}$ es un entero algebraico.

Supongo que es probable que exista algún trabajo pesado de clasificación de los teoremas que dan una línea de pruebas para esto, pero no tengo nada de eso en mi desechables, así que básicamente estoy tratando de construir un polinomio sobre $\mathbb{Z}$ a que este número complejo como una raíz.

Mi estrategia general es elevar ambos lados de la ecuación

$$x = \frac{10^{\frac{2}{3}}-1}{\sqrt{-3}}$$

a la $n^{th}$ alimentación y, a continuación, romper la suma resultante de tal manera como para resubstitute atrás en el más pequeño de los poderes de $x$. También desde esta raíz es complejo sé que tiene que venir en un par conjugado para los coeficientes de mi polinomio para ser real, por lo tanto sé que

$$x = -\frac{10^{\frac{2}{3}}-1}{\sqrt{-3}}$$

también debe ser una raíz de mi polinomio. Por lo tanto, de esto puedo obtener:

$$3x^2 = (10^{\frac{2}{3}} -1 )^2$$

Sin embargo, desde mi raíz es imaginario puro realmente no recibir más información de este, así que estoy un poco perplejo, he intentado elevar ambos lados de $3x^2 -1 = 10^{\frac{4}{3}} - (2)10^{\frac{2}{3}}$ a la tercera potencia pero no se ve como que va a romper correctamente, alguien me puede ayudar con esto? Gracias.

Answer 1

Su estrategia general es viable, pero será mucho más feliz si comienza eliminando la raíz del cubo. Comience con$$x \sqrt{-3}+1=10^{2/3} \, .$ $ Cubra esta ecuación, expanda el lado izquierdo, reúna todos los factores de$\sqrt{-3}$ en un lado, y cuadre el resultado, y se quedará con un sextic (con suerte el el mismo Robert se le ocurrió, hasta un múltiplo constante).

Answer 2

$$ \begin{eqnarray} & &\rm x &=&\,\rm \frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt{b}} \\ &\Rightarrow& 0 &=&\,\rm (\sqrt{b}\,x + 1)^3\!-a\, =\, 3b\,x^2\!+1\!-\!a + (bx^3\! + 3x)\, \color{#C00}{\sqrt{b}}\ =:\ f(\color{#C00}{\sqrt{b}}) \\ &\Rightarrow& 0 & = &\,\rm f(\color{#C00}{\sqrt{b}})\,f(\color{#C00}{-\sqrt{b}})\, =\, -b^3\,x^6 + 3b^2\,x^4 -3(2a\!+\!1)b\,x^2+(a\!-\!1)^2\\ \rm a=100,\ b = -3 &\Rightarrow& 0 &=&\,\rm 27\,(x^6 + x^4 + 67\, x^3 + 363) \\ \rm a=10,\ \ \ b = -3 &\Rightarrow\,& 0 &=&\,\rm 27\, (x^6+x^4 +\,\ 7\, x^2 + 3)\\ \end {eqnarray} $$

Answer 3

Si empezamos con $\sqrt{-3}x + 1 = 10^{2/3}$, obtenemos $$(\sqrt{-3}x+1)^3 = 100$$ por lo tanto $$100 = -3\sqrt{-3}x^3 - 9x^2 + 3\sqrt{-3}x + 1.$$ Por lo tanto, $$3\sqrt{-3}x^3 + 9x^2 - 3\sqrt{-3}x + 99 = 0.$$ Dividiendo por $3\sqrt{-3}$ obtenemos $$x^3 + \frac{3}{\sqrt{-3}}x^2 - x + \frac{33}{\sqrt{-3}}=0$$ y la racionalización de los conseguimos $$x^3 + \frac{3\sqrt{-3}}{-3}x^2 - x + \frac{33\sqrt{-3}}{-3} = 0$$ o $$x^3 - \sqrt{-3}x^2 - x -11\sqrt{-3}=0.$$ Este es un monic polinomio con coeficientes en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$; por lo tanto $x$ integral $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$, que a su vez es parte integral de la $\mathbb{Z}$, lo $x$ integral $\mathbb{Z}$, como se desee.

Para ir desde aquí hasta el polinomio en el Robert de Israel respuesta, se multiplica por el conjugado: $$\begin{align*} &\Bigl((x^3-x) - \sqrt{-3}(x^2+11)\Bigr)\Bigl((x^3-x)+\sqrt{-3}(x^2+11)\Bigr)\\ &\qquad = (x^3-x)^2 + 3(x^2+11)^2\\ &\qquad = x^6 - 2x^4 + x^2 + 3x^4 + 66x^2 + 363\\ &\qquad = x^6 + x^4 + 67x^2 + 363, \end{align*}$$ y hemos terminado.

Answer 4

Un poco menos del enfoque computacional puede ser basado en la idea de que un número algebraico es una expresión algebraica entero si y sólo si está en todas partes localmente integral. Ciertamente, $\sqrt{-3}$ $p$- ádico de la unidad (posiblemente en una extensión cuadrática) en todas partes, excepto $3$, por lo que el único problema es al $3$.

Segundo, observar/especulan que hay una raíz cúbica $\alpha$$10$$\mathbb Q_3$, el uso de Hensel el Lema: $10$ está muy cerca de la $1$ modulo poderes de $3$, $3$- adically. Una forma útil de Hensel el lema aquí es que un monic polinomio $f$ con coeficientes en $\mathbb Z_3$ $x_o\in \mathbb Z_3$ tal que $|f(x_o)/f'(x_o)^2|_3<1$ produce una raíz de $f(x)=0$$\mathbb Z_3$.

A partir de esto, podemos ver que si podemos encontrar una raíz cúbica de a $10$ mod $3^3=27$, $3$- ádico raíz cúbica. De hecho, $4^3=64=10+2\cdot 3^3$.

Así que no es de$\alpha\in \mathbb Z_3$$\alpha-4=0 \mod 3$, lo ${\alpha-1\over 3}$ $3$- ádico entero, y, ciertamente, ${\alpha-1\over \sqrt{-3}}$ integral $\mathbb Z_3$, aunque en una extensión cuadrática.

Un patrón similar se produce para todos los impares, números primos: $(1+p)^p=1+p^2 \mod p^3$, por lo que hay un $p$-ésima raíz de $1+p^2$$\mathbb Z_p$.

Answer 5

Un sistemático (aunque posiblemente no particularmente inteligente) enfoque sería para trabajar en $\mathbb Q[\alpha,\beta]$ donde$\alpha=\sqrt[3]{10}$$\beta=i\sqrt{3}$.

Primera nota de que $1/\beta = \frac{-1}{3}\beta$. Entonces su $x$ es de algún polinomio en $\alpha$$\beta$. Escribir las facultades de $x$ $x^6$ similar polinomios, a lo largo de la simplificación de la forma, el uso de $\alpha^3=10$$\beta^2=-3$.

Ahora tiene $1, x, x^2,\ldots x^6$, expresado como polinomios de grado en la mayoría de las $3$ $\alpha$ y en la mayoría de las $2$$\beta$. El espacio de tales polinomios es $6$-dimensiones racional espacio vectorial, así que usted puede encontrar una combinación lineal no trivial de su $7$ polinomios-con, entonces es un polinomio en a $x$ que tiene su misterio número como una raíz.