Mostrando que el generador de gavilla$\epsilon: \tilde{\sf C} \to \tilde{\tilde{\sf C}}$ es una equivalencia

Question

Deje $(\mathsf C,J)$ ser un sitio. Luego tenemos a la categoría de poleas $\tilde{\mathsf C}$ y la categoría de $\tilde{\tilde{\sf C}}$ de las poleas sobre $\tilde{\sf C}$ (ambos considerados con canónica de la topología).

Hay un functor $\epsilon: \tilde{\sf C} \to \tilde{\tilde{\sf C}}$, que es la composición, $\bf ay$ de la Yoneda functor $\mathbf y_C = \operatorname{Hom}(-,C)$ y asociada a la gavilla functor $\mathbf a$.

He visto varias veces afirmó que $\epsilon$ es una equivalencia, pero me falta fondo para entender la prueba en el Elefante (C2.2.7). Sin embargo, Makkai y Reyes reclamo de Primer Orden Categórica de la Lógica de que "no es difícil mostrar Lema 1.3.14 directamente" (donde 1.3.14 es la declaración de que $\epsilon$ es una equivalencia).

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Así que traté de demostrar directamente; obviamente, la dificultad radica en definir el functor $R$ que formas una equivalencia junto con $\epsilon$. Aquí va mi intento:

Deje $\mathcal S$ ser una gavilla $\tilde{\sf C}$ (para un objeto de $\tilde{\tilde{\sf C}}$); a continuación, $\mathcal S = \varinjlim_i \operatorname{Hom}(-,F_i)$ para algunos objetos $F_i$$\tilde{\sf C}$. Para cualquier $F$, ahora, $\mathcal SF$ es una clase de equivalencia natural transformaciones $[\eta: F \to F_i]$. Así que ahora les vamos a:

$$R\mathcal S = G, GC = \left\{\left([\eta_C: FC \to F_iC],x\right) \mid F \in \operatorname{ob}\tilde{\sf C}, x \in FC\right\}$$

y para $f:D \to C$, definir $Gf: GC \to GD$ $$Gf([\eta_C:FC\to F_iC],x) = ([\eta_D:FD \to F_iD],Ff(x))$$

Así que creo que esta será una de equivalencia, pero no estoy muy seguro de que a causa de la multitud de los supuestamente obvio reclamaciones (por ejemplo, sobre el bien definedness, y que $G$ es una gavilla).

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Mi pregunta tiene dos partes:

1. Es esta definición va a funcionar? ¿Qué debo prestar atención?
2. Si no, ¿hay alguna otra explícito de la construcción de la functor $R$?

Answer 1

Por simplicidad, suponga $(\mathbb{C}, J)$ es un pequeño subcanonical sitio. El cuasi-inversa de la incrustación $\mathbf{Sh}(\mathbb{C}, J) \to \mathbf{Sh}(\mathbf{Sh}(\mathbb{C}, J))$ tiene una muy simple descripción: es el functor que envía una gavilla $F : \mathbf{Sh}(\mathbb{C}, J)^\mathrm{op} \to \mathbf{Set}$ a su restricción a lo largo de la incrustación $\mathbb{C} \to \mathbf{Sh}(\mathbb{C}, J)$.

En efecto, supongamos $F : \mathbf{Sh}(\mathbb{C}, J)^\mathrm{op} \to \mathbf{Set}$ es una gavilla. Puedo reclamar $F$ se determina hasta un único isomorfismo por su restricción a lo largo de la incrustación $\mathbb{C} \to \mathbf{Sh}(\mathbb{C}, J)$. De hecho, vamos a $X : \mathbb{C}^\mathrm{op} \to \mathbf{Set}$ $J$- gavilla. A continuación, $X$ es el colimit de un canónica pequeño diagrama de representable poleas en $(\mathbb{C}, J)$ en una forma canónica. Considerar la colimiting cocone en $X$: es un universal efectiva epimorphic de la familia y es por lo tanto una cubierta de la familia, en la canónica de la topología en $\mathbf{Sh}(\mathbb{C}, J)$. Por lo tanto, $F (X)$ es, de hecho, determina hasta único isomorfismo por la restricción de $F$$\mathbb{C}$. Debemos también muestran que la restricción es en realidad una gavilla en $(\mathbb{C}, J)$; pero esto es cierto porque las $J$-cubriendo los tamices en $\mathbb{C}$ a ser universal efectiva epimorphic familias en $\mathbf{Sh}(\mathbb{C}, J)$.

Así obtenemos un functor $\mathbf{Sh}(\mathbf{Sh}(\mathbb{C}, J)) \to \mathbf{Sh}(\mathbb{C}, J)$ que es la izquierda cuasi-inversa a la incrustación $\mathbf{Sh}(\mathbb{C}, J) \to \mathbf{Sh}(\mathbf{Sh}(\mathbb{C}, J))$, y el argumento anterior muestra que también es un derecho cuasi-inversa.