Cálculo de un problema sobre la sustitución y el área

Question

Estoy buscando un problema de cálculo uno divertido (sin demasiados cálculos tediosos) que utilice el concepto de que, después de la subsitución, se tienen dos integrales de funciones difentes con límites diferentes, pero de igual área. Por ejemplo:

Función uno

Función dos

Esas dos regiones son las mismas. Estoy pensando en un problema en el que se pida al alumno que demuestre que dos regiones tienen la misma área, y una vez que establezcan las integrales podrán ver que es un caso de subsunción.

¿Conoce algún problema de este tipo?

Answer 1

Lo siguiente es parte de la maquinaria estándar para demostrar las propiedades básicas de los logaritmos, si se opta por introducirlos utilizando una integral.

Para cualquier número $c \ge 1$ , defina $L(c)$ diciendo que $L(c)$ es el área bajo la curva $y=1/x$ , por encima de la $x$ -eje, de $x=1$ a $x=c$ .

Entonces $L(ab)$ es el área de $1$ a $ab$ . Esta es la zona de $1$ a $a$ , más la zona de $a$ a $ab$ .

Pero la zona de $a$ a $ab$ es $$\int_a^{ab}\frac{dx}{x}$$ Realice la sustitución $x=ua$ . Encontramos que $$\int_a^{ab}\frac{dx}{x}=\int_1^b \frac{du}{u}$$

Conclusión: $L(ab)=L(a)+L(b)$ .

Editar: Aquí hay otro ejemplo, más utilizable. Dejemos que $a$ y $b$ sea positiva. Entonces el área de la mitad superior de la elipse $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ es igual al área de la mitad superior del círculo de radio $\sqrt{ab}$ .

Answer 2

En general, hay dos formas de calcular $E(X^2)$ donde $X$ es una variable aleatoria con densidad $f(x)$ para simplificar diré $X$ siempre toma valores entre $0$ y $a$ Así que $f(x) = 0$ cuando $x < 0$ o $x > a$ . Una es simplemente tomar $\int_0^a x^2 f(x) \: dx$ . La otra es encontrar la densidad $g$ de la variable aleatoria $Y = X^2$ Esto es $g(y) = f(\sqrt{y})/(2\sqrt{y})$ . Entonces

$$ E(Y) = \int_0^{a^2} y g(y) \: dy = \int_0^{a^2} {\sqrt{y} \over 2} f(\sqrt{y}) \: dy. $$

Estas dos integrales están relacionadas por el cambio de variables $y = x^2$ . Se pueden generar muchos ejemplos a partir de esto. Por ejemplo, tome $f(x) = 6x(1-x)$ en $0 \le x \le 1$ entonces esto da

$$ \int_0^1 6x^3 - 6x^4 \: dx = \int_0^1 3y - 3y^{3/2} \: dy. $$

Aunque la inspiración para esto viene de la probabilidad (que estoy enseñando actualmente, lo que probablemente explica por qué esto vino a la mente) el resultado es cierto incluso si $f$ toma valores negativos o no se integra a uno.

Answer 3

Si hacemos la sustitución $t=\frac{u}{1+u}$ en la función beta definida por la siguiente primera integral, obtenemos la segunda:

$$B(p,q)=\int_{0}^{1}t^{p-1}(1-t)^{q-1}\;\mathrm{d}t=\int_{0}^{\infty }\frac{% u^{p-1}}{(1+u)^{p+q}}\;\mathrm{d}u.$$

Dado que la relación $B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$ , para $p=q=\frac{1}{2}$ produce

$$B(1/2,1/2)=\frac{\left( \Gamma (1/2)\right) ^{2}}{\Gamma (1)% }=\pi,$$

obtenemos

$$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{t\left( 1-t\right) }}\;\mathrm{d}% t=\int_{0}^{\infty }\frac{1}{\left( 1+u\right) \sqrt{u}}\;\mathrm{d}u=\pi.$$

Answer 4

¿Qué tal si calculamos el área? $S$ ¿ de un cuarto del círculo unitario?

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $S = \int_0^1 {\sqrt {1 - x^2 } \,{\rm d}x} $ . La sustitución $x=\sin(u)$ (Por lo tanto, ${\rm d}x = \cos(u) \,{\rm d}u$ ) da $$ \int_0^1 {\sqrt {1 - x^2 } \,{\rm d}x} = \int_0^{\pi /2} {\sqrt {1 - \sin ^2 (u)} \cos (u)\,{\rm d}u} = \int_0^{\pi /2} {\cos ^2 (u)\,{\rm d}u}. $$ La integral de la derecha puede calcularse como sigue. $$ \int_0^{\pi /2} {\cos ^2 (u)\,{\rm d}u} = \int_0^{\pi /2} {\frac{{1 + \cos (2u)}}{2}\,{\rm d}u} = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}\int_0^{\pi /2} {\cos (2u)\,{\rm d}u} = \frac{\pi }{4}, $$ donde la última igualdad se deduce de $$ \int_0^{\pi /2} {\cos (2u)\,{\rm d}u} = \frac{1}{2}\int_0^\pi {\cos (t)\,{\rm d}t} = 0. $$ Así, hemos demostrado que $S=\pi/4$ , que es un resultado no trivial.

EDIT: Como otro ejemplo, utilizando la sustitución $y=e^{-x}$ tenemos $$ \int_0^\infty {e^{ - x} \,{\rm d}x} = \int_1^0 {y\frac{{\,{\rm d}y}}{{ - y}}} = \int_0^1 {1\,{\rm d}y} = 1. $$