Ejemplos de isomorfismos no evidentes a partir del primer teorema de isomorfismo

Question

Estoy aprendiendo el primer teorema del isomorfismo, y estoy trabajando con algunos isomorfismos para practicar para mi próximo examen. Conozco algunos de los básicos como:

• $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong \mathcal{C}$ , donde $\mathcal{C}$ es el círculo unitario en el plano complejo, bajo el isomorfismo $$x+\mathbb{Z}\mapsto e^{2\pi x i}$$

• $\dfrac{\mathbb Z \times \mathbb Z}{\langle (m,n)\rangle}\cong\mathbb Z$ , donde $m,n$ son números enteros.

• $\dfrac{\mathbb R^\star}{\{1, -1\}} \cong \mathbb R^+$ .

Me gustaría ver más ejemplos de dichos isomorfismos, ¡pensados tanto como referencia como para ayudarme a estudiar para el examen! Gracias.

Answer 1

Ejemplos del primer teorema del isomorfismo

El primer teorema del isomorfismo (FIT) se aplica en diferentes contextos: Grupos, Anillos, Espacios Vectoriales, Álgebras de Lie y otras estructuras.

A continuación, ejemplos para los tres primeros.

Tres isomorfismos de grupo

Consideremos $GL_2(\Bbb F_3)$ El grupo de $2\times 2$ matrices invertibles con coeficientes en $\Bbb F_3$ que es el campo con tres elementos. Se trata de un grupo con respecto a la multiplicación de matrices. Consideremos ahora el mapa lineal $\det:GL_2(\Bbb F_3)\to\Bbb F_3^{\times}$ . Es claramente sobreyectiva, y su núcleo son todas las matrices con determinante igual a $1$ que forman un subgrupo normal denotado por $SL_2(\Bbb F_3)$ .

Por lo tanto, de la FIT se deduce que $$ \color{#c01}{\frac{GL_2(\Bbb F_3)}{SL_2(\Bbb F_3)}\simeq\Bbb F_3^{\times}}\;. $$

Otro ejemplo interesante que desciende de la FIT es el siguiente (pero demostrarlo no es inmediato): dejemos que $\Bbb F$ sea un campo, y $t$ un elemento trascendental sobre $\Bbb F$ . Se puede demostrar que $$ \color{#b49}{\operatorname{Aut}(\Bbb F(t)|\Bbb F)\simeq GL_2(\Bbb F)/D_2(\Bbb F)} $$ donde $D_2(\Bbb F):=\{a\Bbb I_2\;:\;a\in\Bbb F\}$ son los $2\times2$ matrices escalares.

Un último ejemplo interesante con grupos: consideremos el grupo aditivo $H:=(\Bbb Z/m\Bbb Z,+)$ . Entonces $$ \color{#d78}{\operatorname{Aut}(H)\simeq U(\Bbb Z/m\Bbb Z)} $$ donde $U(\Bbb Z/m\Bbb Z)$ es el grupo de la unidad (es decir, los elementos invertibles) del anillo $\Bbb Z/m\Bbb Z$ . Intenta averiguar el morfismo entre los dos grupos y comprueba que es biyectivo.

Un isomorfismo de anillo

Considere un campo $\Bbb K$ , $\operatorname{char}(\Bbb K)=0$ y $\overline {\Bbb K}=\Bbb K$ (es decir, algebraicamente cerrado).

Consideremos el morfismo de anillo dado por $\varphi:\Bbb K[X,Y,Z]\to\Bbb K[X,Z]$ dado por $X\mapsto X$ , $Z\mapsto Z$ y $Y\mapsto XZ$ .

Puis $\varphi$ es claramente suryente, y el núcleo es el ideal $(ZX-Y)$ . Así, la FIT da $$ \color{#c33}{\frac{\Bbb K[X,Y,Z]}{(ZX-Y)}\simeq\Bbb K[X,Z]}\;. $$

Un isomorfismo de espacio vectorial

Considere el mapa $\phi:\Bbb R^4\to\Bbb R^2$ dado por $\begin{bmatrix}x\\y\\z\\w \end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}x-z\\y+w \end{bmatrix}$ .

$\phi$ es un $\Bbb R$ -un mapa lineal, claramente sobreyectivo, en el que el núcleo viene dado por $ W:=\langle\begin{bmatrix}1\\0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\\-1 \end{bmatrix}\rangle $ .

Por lo tanto, FIT da $$ \color{#c03}{\Bbb R^4/W\simeq\Bbb R^2}\;\;. $$

Answer 2

Me gustan mucho los isomorfismos que implican a los grupos matriciales. Por ejemplo, $SU(2)/\{\pm I\}\simeq SO(3)$ o $SL_2(\mathbb{F}_5)/\{\pm I\}\simeq A_5$ . Aquí $SU(2)$ es el grupo de los unitarios $2\times 2$ matrices, $SO(3)$ es el grupo de ortogonales reales $3\times 3$ matrices, $SL_2(\mathbb{F}_5)$ son matrices con coeficientes en el campo con $5$ elementos con $\det=1$ y $A_5$ es un grupo de permutaciones pares de $5$ elementos.

No estoy seguro de que esto sea exactamente lo que está pidiendo, pero espero que le ayude un poco.

Answer 3

A veces, en lugar de utilizar el primer teorema de isomorfismo como herramienta para construir isomorfismos, se puede utilizar como herramienta para construir subgrupos con ciertas propiedades. Por ejemplo, consideremos el problema

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Dejemos que $G$ sea un grupo finito con un subgrupo $H$ , $[G:H] = n$ entonces $H$ contiene un subgrupo normal de índice $\leq n!$

Solución: $G$ actúa sobre $G/H$ por $x(gH) = (xg)H$ . Esto induce un homomorfismo $\phi$ de $G$ a $\Sigma_{G/H}$ . Supongamos que $x$ está en el núcleo de $\phi$ . Entonces $xH = H$ para que $x \in H$ . Así, el núcleo $K$ de $\phi$ está contenida dentro de $H$ . Por el primer teorema de isomorfismo, $G/K$ es isomorfo a un subgrupo de $\Sigma_{G/H}$ que necesariamente tiene un orden menor que $|\Sigma_{G/H}| = n!$ .

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El propósito de este ejemplo es demostrar que se puede producir un subgrupo no obvio escogiendo un homomorfismo apropiado, mirando su núcleo y aplicando el primer teorema de isomorfismo.

Answer 4

$(\mathbb{R^{+}},\bullet)$ el grupo multiplicativo de los números reales positivos, es isomorfo a $(\mathbb{R},+)$ el grupo aditivo de los números reales.

Considere la función logarítmica $x \mapsto ln(x)$ . Desde $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$ y está totalmente definida en $\mathbb{R^{+}}$ y suryente, es un homomorfismo de $(\mathbb{R^{+}},\bullet)$ en $(\mathbb{R},+)$ . Su núcleo es el conjunto de las preimágenes del elemento identidad de $(\mathbb{R},+)$ por lo que es el subgrupo trivial. Por lo tanto, tenemos

$$(\mathbb{R^{+}},\bullet) / \{1\} \cong (\mathbb{R^{+}},\bullet) \cong (\mathbb{R},+)$$

Por supuesto, también es fácil ver este isomorfismo sin usar el primer teorema de isomorfismo, pero este es seguramente un ejemplo que ilustra este teorema. Involucra a dos grupos que deberían entender bien quienes aprenden este teorema por primera vez, y no es obvio, ya que uno de los grupos es aditivo y otro multiplicativo.

Answer 5

$\mathbb{R}[i] \simeq \mathbb{C}$

El primer teorema de isomorfismo es el que permite decir $\mathbb{R}[x]/(x^2+1) \simeq \mathbb{R}[i]$ que es sólo $\mathbb{C}$ .

Identificamos el núcleo de $\phi:p(x) \to p(x) \mod (x^2 + 1)$ con el ajuste del anillo $x^2 + 1 = 0$ . Esta es una idea muy poderosa, que conduce a la noción de variedad algebraica

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Teorema del punto fijo de Brouwer (topología)

Si conoce alguna topología (por ejemplo, Hatcher Capítulo 1 ), un resultado de la teoría de la homotopía dice que si $r:X \to A$ es una retracción, y $i:A \to A \subseteq X$ es una inclusión, entonces $i_\ast:\pi_1(A) \to \pi_1(X)$ es un mapa inyectivo.

Dejemos que $X = \mathbb{D}$ el disco de la unidad y $A=S^1 $ el círculo delimitador. Entonces $\pi_1(\mathbb{D}) = 0$ y $\pi_1(S^1) = \mathbb{Z}$ . La inclusión del círculo delimitador en $S^1 \to \mathbb{D}$ induce un homomorfismo entre grupos fundamentales $i_{\ast}:\pi_1(S^1) \to \pi_1(\mathbb{D})$ .

Por el primer teorema de isomorfismo tenemos $\boxed{\mathrm{ker\;}i_{\ast} \simeq \pi_1(S^1)/\pi_1(\mathbb{D})}$ lamentablemente una mirada más cercana muestra $i_\ast :\mathbb{Z} \to 0 $ así que $\mathrm{ker\;}i_{\ast} \simeq \mathbb{Z}$ pero si este homormofismo fuera inyectivo $\mathrm{ker\;}i_{\ast} \simeq 0$ .

Concluimos que no existe contracción, $\mathbb{D} \to S^1$ .

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Si $h:\mathbb{D} \to \mathbb{D}$ es continua, entonces podríamos trazar líneas $x \to h(x)$ y ver donde se golpea $S^1$ . Si $h(x) \neq x$ esto induciría una retracción de $\mathbb{D} \to S^1$ que demostramos que no existe. Así que mostramos...

Teorema del punto fijo de Brouwer Cada mapa continuo $\mathbb{D} \to \mathbb{D}$ tiene un punto fijo.

¿Puedes ver dónde usé el primer teorema de isomorfismo?