¿Debe una torsión cuasicoherente que es cero en un subconjunto abierto denso ser torsión?

Question

Permita que$X$ sea un esquema, y$F$ una gavilla cuasi-coherente de$\mathcal{O}_X$ - modules en$X$, de manera que para algunos densos abiertos$U\subset X$, tengamos $F|_U = 0$.

Bajo estas suposiciones, ¿debe ser$F$ un módulo de torsión?

Me complace suponer que$X$ es noetherian y reducido si es necesario.

Answer 1

Disculpas de antemano si este post es inútil y/o incorrecta. Aquí están algunas ideas sobre lo que sucede si se asume que el $X$ es integral, o asumir que $X$ es reducido y noetherian.

(i) ($X$ integral.) Escoge un arbitrario abrir afín subconjunto ${\rm Spec}A \subset X$, donde la restricción de $\mathcal F$ es de la forma $\widetilde M$ algunos $A$-módulo de $M$. Desde $U$ es densa, $U$ contiene el genérico punto de $X$. El tallo de $\mathcal F$ en el genérico es la localización de $M_{(0)}$. Desde $\mathcal F|_U = 0$, podemos deducir que $M_{(0)}$ es el cero del módulo. Por lo tanto, para cada $m \in M$, existe un no-cero $r \in A$ tal que $rm = 0$. Esto demuestra que $M$ es un módulo de torsión. Los tallos de $\mathcal F$ dentro ${\rm Spec}A$ son localizaciones de $M$, por lo que estos también son de torsión de los módulos. Desde ${\rm Spec} A$ se ha elegido arbitrariamente, esto demuestra que $\mathcal F$ es una gavilla de torsión.

(ii) ($X$ reducido y noetherian.) De nuevo, escoger un arbitrario abrir afín subconjunto ${\rm Spec}A \subset X$ donde $\mathcal F$ restringe a $\widetilde M$. Desde $A$ es un noetherian anillo, tiene un número finito de un mínimo de primer ideales, $\mathfrak p_1, \dots,\mathfrak p_n$. El conjunto abierto $U \cap {\rm Spec} A$ es igual a ${\rm Spec}A \ \backslash \ V(I)$ por algún ideal $I \subset A$. Claramente $I$ no es un subconjunto de cualquier $\mathfrak p_i$, para los si $I \subset \mathfrak p_i$, $U \cap {\rm Spec} A$ no cruzan el no-vacío conjunto abierto ${\rm Spec} A \ \backslash \left( \cup_{j \neq i} V(\mathfrak p_j)\right)$ (debido a que cada primer ideal en $A$ contiene al menos un mínimo de prime ideal) y esto estaría en contradicción con el hecho de que $U$ es densa. Por el primer evitación lema, se sigue que $I$ no es un subconjunto de a $\cup_i \mathfrak p_i$. Por lo tanto, existe al menos un elemento de a $f \notin \cup_i \mathfrak p_i$ que está contenida en $I$, es decir, existe al menos un elemento de a $f \notin \cup_i \mathfrak p_i$ tal que la base de abrir afín subconjunto $D(f) \subset {\rm Spec} A$ está contenido en $U$.

Desde $\mathcal F|_U = 0$, se deduce que la localización $M_f = \mathcal F(D(f))$ es el módulo cero, lo que implica que para cada $m \in M$, existe un $e \geq 0$ tal que $f^e m = 0$. El elemento $f^e$ no puede ser contenida en $\cup_i \mathfrak p_i$, de lo contrario $f$ sí estaría contenida en $\cup_i \mathfrak p_i$, contrario a la hipótesis. Desde $A$ es reducido, $\cup_i \mathfrak p_i$ es, precisamente, el conjunto de divisores de cero en $A$. Así, hemos demostrado que, para cada $m \in M$, existe un no-cero-divisor $r \in A$ tal que $rm = 0$, lo que demuestra que $\mathcal F({\rm Spec}A) = M$ es un módulo de torsión.

Por otra parte, si $\mathfrak p$ es cualquier punto en ${\rm Spec}A$, entonces los ideales en $A_{\mathfrak p}$ están en una correspondencia uno a uno con los ideales en $A$ contenida dentro de $\mathfrak p$, por lo que el mínimo ideales en $A_{\mathfrak p}$ son las localizaciones de los $\mathfrak p_i$'s que están contenidas dentro de $\mathfrak p$, y el conjunto de los divisores de cero en $A_{\mathfrak p}$ es la unión de las localizaciones de estos $\mathfrak p_i$'s. Por lo tanto, cualquier $r \in A$ que es un no-cero-divisor en $A$ es también un no-cero-divisor en $A_{\mathfrak p}$. Ya que cada elemento de a $A_{\mathfrak p}$ es de la forma $m /g$ algunos $m \in M$$g \in A \backslash \mathfrak p$, y puesto que existe un no-cero-divisor $r \in A$ (que es también un no-cero-divisor en $A_{\mathfrak p}$) que aniquila $m$, se deduce que el tallo $\mathcal F_{\mathfrak p} = M_{\mathfrak p}$ es un módulo de torsión, y por lo tanto, $\mathcal F$ es una gavilla de torsión.

Answer 2

Creo que usted está buscando el siguiente:

Si $X$ es un noetherian (si $X$ es reducido no es relevante) esquema, $F_{|U}=0$ $I$ el ideal gavilla de $X\setminus U$ (dicen que elija el reducido esquema de la estructura), a continuación, $I^nF=0$ algunos $n>0$. La prueba de este hecho es muy fácil.

Si además $U$ pasa a ser denso, entonces uno puede mostrar que $I^n$ contiene un elemento regular (Que es lo que Kenny Wong hizo en la segunda parte de su respuesta), es decir, en todos los afín piezas de cualquier elemento de $F$ es de torsión en el sentido de álgebra conmutativa.