Mostrar el conjunto de valores reales para los que la imagen previa tiene una medida mayor que cero es cero

Question

La pregunta es enunciarse de la siguiente manera:

Mostrar que si $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es medible, entonces el conjunto $E = \{x \in \mathbb{R} \ | \ m(f^{-1}(x)) > 0 \}$ tiene medida cero.

Este problema parece simple a primera vista, y yo sentí que había una solución. Comenzamos mostrando que $E$ se puede medir utilizando una definición de Royden. Es decir, desde la $E \subset \mathbb{R}$, y tenemos \begin{align} m^*(\mathbb{R}) = m^*(\mathbb{R} \cup E) + m^*(\mathbb{R} \cup E^C) \end{align}

de ello se desprende que $E$ es un conjunto medible. Tradicionalmente, si la inversa de a $f$ está definido, entonces f es bijective y para cada una de las $y \in \mathbb{R}$, debe haber un $x \in \mathbb{R}$ tal que $f(x) = y$. Pero, a continuación, para cada uno de los $y \in \mathbb{R}$, $m(f^{-1}(y)) = m(\{x\}) = 0$. A partir de esto, se debe seguir no sólo eso $E$ está vacía, pero que $m(E) = 0$.

Aquí es donde no estoy seguro. Si nos limitamos a considerar la posibilidad de $f^{-1}$ a devolver la pre-imagen de un punto de $y \in \mathbb{R}$, y decir que $f$ es una función constante definida $f(x) = c$,$m(f^{-1}(c)) = m(\mathbb{R}) = \infty > 0$. En este caso, sin embargo, $E = \{c\}$, que tiene medida cero. Con esta nueva interpretación de $f^{-1}$, no estoy exactamente seguro de cómo proceder. Si la medida de $E$ no fue igual a cero, no sería necesariamente un intervalo de $(y_1,y_2) \subset E$ para que cada punto en el intervalo de $y \in (y_1,y_2)$,$f^{-1}(y) = (x_1,x_2)$. No estoy seguro de cuáles son las implicaciones que esto podría tener, si los hubiere. Debo trabajar en la obtención de una contradicción aquí, o debo intentar demostrar que $m(E) = 0$ directamente?

Edit: Como se señaló en los comentarios, mi argumento para la medición de la $E$ es insuficiente. Además, mi conclusión de que un intervalo vivido en $E$ es igualmente falsa (gracias Cantor)

Answer 1

Sugerencia: dado que la medida de Lebesgue es$\sigma$ - finite, se deduce que$E$ es realmente contable .

Answer 2

La función de $f$ ni siquiera tiene que ser medible para que esto sea cierto. (Por supuesto, si $f$ no es medible, entonces no puede existir $x \in \mathbb{R}$ tal que $f^{-1}(x)$ no es un conjunto medible, pero eso está bien — cualquier $x$ no se en $E$ ya que no es cierto que la $m\left(f^{-1}(x)\right)\gt 0.)$

Si $f$ no se requiere ser medibles, estamos interpretando $E$ $\lbrace x\;\vert\;f^{-1}(x)\text{ is measurable and }m(f^{-1}(x))>0\rbrace$ o, de manera equivalente, $\lbrace x\;\vert\;f^{-1}(x)\text{ has positive measure}\rbrace.$

Como @DavidC.Ullrich señaló, $E$ le resultan ser en realidad contable.

Para enteros positivos $s$ $t,$ deje $E_{s,t} = \lbrace x\;\vert\; m\left([t,t+1) \cap f^{-1}(x) \right) \gt \frac{1}{s} \rbrace . $

Reclamo: Cada una de las $E_{s,t}$ es finito. De hecho, la cardinalidad de a $E_{s,t}$ es de menos de $s.$

Prueba de reclamación: Supongamos $x_1, \dots, x_n$ $n$ elementos distintos de a $E_{s,t};$ mostraremos $n \lt s.$ Los conjuntos de $f^{-1}(x_1), \dots, f^{-1}(x_n)$ son disjuntos a pares, por lo que $$1 = m\left([t,t+1)\right) \ge \sum_{k=1}^{n}m\left([t,t+1)\cap f^{-1}(x_n)\right) \gt \frac{n}{s},$$ where the last inequality is because each of the $n$ summands is greater than $\frac{1}{s}.$ It follows that $n \lt s.$

Ahora defina $E_t = \lbrace x\;\vert\; m\left([t,t+1) \cap f^{-1}(x) \right) \gt 0 \rbrace .$ Un número real $a$ es mayor que $0$ fib no es un número entero positivo $s$ tal que $a$ es mayor que$\frac{1}{s};$ $E_t = \cup \lbrace E_{s,t}\;\vert\; s\text{ is a positive integer}\rbrace.$ es una contables de la unión finita de conjuntos, de modo que cada una de las $E_t$ es contable.

A continuación podemos observar que si un subconjunto $A$ $\mathbb{R}$ tiene medida positiva, entonces, para algún entero $t,$ el conjunto $A \cap [t,t+1)$ tiene medida positiva. Después de todo, cada uno de los conjuntos de $A \cap [t,t+1)$ es la intersección de dos conjuntos medibles, por lo que es mensurable; pero si todos hubieran medida $0,$ $A$ sería contables de la unión de medida $0$, por lo $A$ medida $0$ sí.

De ello se desprende que $E \subseteq \cup \lbrace E_t\;\vert\;t\text{ is an integer}\rbrace.$ La unión aquí es una contables de la unión de conjuntos contables, por lo que debe ser contable. Su subconjunto $E$ debe ser, por tanto, contables también. Cualquier contables conjunto tiene medida $0,$ así que hemos terminado.

Por último, una nota sobre el axioma de elección: este argumento no usar el axioma de elección a pesar de que puede parecer a primera vista. (El teorema general que un contable unión finita de conjuntos numerables y no requiere el axioma de elección, como el teorema de que una contables de la unión de conjuntos contables es contable. Pero en los casos particulares se utiliza aquí, el axioma de elección no es necesario.)

La razón de que la elección no se requiere aquí es que los reales son linealmente ordenado (por la costumbre de pedidos), y esto lineal de pedidos proporciona una específica definida buen orden de cada uno de nuestros conjuntos finitos $E_{s,t}.$ Este a su vez nos da una manera de definir un programa específico de conteo de cada uno de los conjuntos de $E_t,$ y eso es todo lo que se necesita a la conclusión de que su unión es contable.