Hacer lentes gravitacionales de trabajo sobre las ondas gravitacionales? Podríamos obtener una cruz de Einstein de la gravedad?
Respuesta
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Resumen
Esta es una respuesta parcial que no puede lidiar con los generales de las ondas gravitacionales, pero no hay una respuesta simple, es decir, sí lentes gravitacionales hacer un trabajo sobre las ondas gravitacionales, para una determinada clase de ondas, es decir, aquellos con pequeñas longitudes de onda y pequeñas amplitudes. Específicamente, los componentes de una onda gravitacional de pequeñas suficiente amplitud que puede considerarse como una perturbación de campo sobre el fondo de la métrica se le localmente cumplir la ecuación de D'Alembert. Si, además de la longitud de onda es lo suficientemente pequeño para que la ecuación Eikonal es una buena aproximación a la propagación de estas perturbación de los componentes, a continuación, los rayos, es decir, las tangentes a las mociones de puntos en la phasefronts de estas ondas, definir tangentes a lightlike geodesics: no importa si el campo subyacente es que un EM campo o una onda gravitacional de la perturbación, la geodesics será el mismo. Sin embargo, las ondas gravitacionales que a menudo son de mucha menor frecuencia que la radiación electromagnética, por lo que la longitud de onda corta condición que es más difícil de cumplir.
Aunque sólo una respuesta parcial, yo creo que esta respuesta es importante para el undertext de su pregunta, que parece ser, "¿se puede utilizar este efecto para aumentar la probabilidad de detectar ondas gravitacionales experimentalmente?" A la luz de las siguientes, la respuesta a esta última pregunta parecería ser "sí, podemos".
Para llegar a esta respuesta podemos utilizar las ideas centrales de la linearización de la gravedad se describe en por ejemplo, el Capítulo 18 de Misner, Thorne y Wheeler "Gravitación" o §8.3 "las Ecuaciones de Einstein para Campos Gravitacionales Débiles", en Bernard Schutz, "Un Primer Curso de teoría General de la Relatividad".
Aquí se divide la métrica $\mathbf{g}$
$$\mathbf{g}=\mathbf{\tilde{g}}+\mathbf{h}\tag{1}$$
donde $\mathbf{\tilde{g}}$ antecedentes el espacio-tiempo definido por todas las galaxias, estrellas y otros tipos de estrés-energía-tensor de fuentes cuyos lentes efectos que se desea estudiar. $\mathbf{h}$ es una perturbación para el fondo de la métrica, y es lo suficientemente pequeño para que su acoplamiento no lineal (a través de la $-\frac{1}{2}\,\mathbf{h}\,h$ plazo en el tensor de Einstein, donde $h = \mathrm{tr}(\mathbf{h})$) en el conjunto de la métrica puede ser descuidado cuando la forma (1) se pone de nuevo a las ecuaciones de campo de Einstein. Así que tenemos exactamente la misma situación que nosotros hacemos para que la luz o la mecánica de fluidos en el espacio-tiempo de fondo: es decir, la perturbación $\mathbf{h}$ se comporta como cualquier viejo campo tensorial separado y en la parte superior de la subyacente gravitacional de fondo $\mathbf{\tilde{g}}$. Estudiamos con cualquiera de las ecuaciones de campo de aplicar yeso en un covariante formulario de modo que el efecto de los antecedentes de $\mathbf{\tilde{g}}$ puede ser trabajado, al igual que con las ecuaciones de Maxwell en una curva de fondo.
En la debilidad de la teoría de campo, el fondo métrica $\mathbf{\tilde{g}}$ es simplemente llevado a ser plana en el espacio-tiempo de Minkowski. Pero el simple perturbación idea es general. Por otra parte, después de haber decidido que podemos descuidar la $-\frac{1}{2}\,\mathbf{h}\,h$ falta de linealidad, vamos a hacer zoom en una pequeña región del espacio-tiempo, con lo suficientemente pequeña medida en que la curvatura de efectos (desde el fondo de la $\mathbf{\tilde{g}}$ derivadas de todas las estrellas y lentes cosas) puede ser descuidado sobre el alcance de este fragmento de espacio-tiempo. Dentro de este bloque, en algunos de Riemann normal de coordenadas (de manera que obtenemos un local marco inercial) la perturbación en la curva de fondo de las ideas por encima de aproximarse a la perturbación en el espacio-tiempo de Minkowski de la teoría estudiada en MTW Capítulo 18 o Schutz Capítulo 8. Por lo tanto, a nivel local, los componentes de la traza inversa de a $\mathbf{\bar{h}} =\mathbf{h} - \frac{1}{2}\, \boldsymbol{\eta}\, h$ "campo" cumplir D'Alembert la ecuación de onda. Así que, si, además, la longitud de onda de estas ondas es lo suficientemente corto como para aproximarse a la propagación de su phasefronts por la ecuación Eikonal, entonces no importa si estos campos un escalar campo de luz o $\mathbf{\bar{h}}$ componentes: los "rayos", es decir, normales a la phasefronts, se definen las tangentes a lightlike geodesics, y exponentiate para el mismo sistema de geodesics.
En otras palabras, las ondas gravitacionales rutas de acceso son las mismas que las trayectorias de luz siempre que (1) la amplitud de las ondas son lo suficientemente pequeños que $-\frac{1}{2}\,\mathbf{h}\,h$ puede ser descuidado a partir de las ecuaciones de campo de Einstein y la alineando la perturbación enfoque es el sonido (2) las longitudes de onda de las ondas son cortos en comparación con los recíprocos de las curvaturas seccionales, calculado a partir del tensor de curvatura derivadas de las lentes de fondo de la $\mathbf{\tilde{g}}$. La segunda aproximación se aplica también a la luz: si es que no se cumplen y la ecuación de la Eikonal no se sostiene, se obtendrá de la difracción de los efectos de las lentes de fondo.
Así que si la luz de una región de llegar a sus instrumentos se incrementa a través de los efectos gravitacionales de algo entre usted y el escrutinio de la región, también lo hará la existencia de las ondas gravitacionales ser aumentado a través de la misma enfoque parcial.
En particular, usted no puede grabar espacio de hormigas con las ondas gravitacionales a través de una lente gravitacional que con la luz a través de una lente gravitacional!
