¿Cuál es la intuición de la definición de continuidad de la topología de conjuntos de puntos?

Question

Sea $X$ y $Y$ sean espacios topológicos. Una función $f: X \rightarrow Y$ se define como continua si para cada conjunto abierto $U \subset Y$ , $f^{-1}(U)$ está abierto en $X$ . Esta definición tiene sentido para mí cuando $X$ y $Y$ son espacios métricos- es equivalente a la habitual $\epsilon-\delta$ definición. Pero ¿por qué es ésta una buena definición cuando $X$ y $Y$ no son espacios métricos? ¿Cómo debemos considerar intuitivamente esta definición?

Answer 1

Una forma abstracta de pensar en la continuidad (en el sentido de que se generaliza a espacios no métricos) es que se trata de error. Una función $f : X \to Y$ es continua en $x$ precisamente cuando $f(x)$ puede "medirse eficazmente" en el sentido de que, midiendo $x$ lo suficientemente cerca, podemos medir $f(x)$ con la precisión deseada. (En otras palabras, el error en nuestra medición de $f(x)$ puede controlarse. "Precisión" significa aquí "dentro de una vecindad arbitraria de $f(x)$ por lo que no depende de ninguna noción métrica). Se trata de una formulación abstracta de uno de los supuestos más básicos de la ciencia: que (la mayoría de) las cantidades que intentamos medir ( $f(x)$ ) dependen continuamente de los parámetros de nuestros experimentos ( $x$ ). Si no lo hicieran, la ciencia sería efectivamente imposible.

Si te gusta pensar en límites, una función es continua si y sólo si preserva límites de filtros o, lo que es lo mismo, redes . Se trata de dos formas de generalizar la convergencia de secuencias a espacios no contables en primer lugar.

Answer 2

Tal vez sea sólo yo, pero nunca he pensado que el habitual $\epsilon$ - $\delta$ definición de continuidad es intuitiva en absoluto. ¿Por qué una función debe ser continua en $x$ si cada bola de radio $\epsilon$ en torno a $f(x)$ contiene la imagen bajo $f$ de una bola de radio $\delta$ en torno a $x$ ?

En cambio, en los espacios métricos, considero que una función es continua si preserva los límites, lo que puede expresarse de forma intuitiva (y generalizable) diciendo que $f$ es continua si y sólo si siempre que $x$ está en la clausura de un conjunto $A$ entonces $f(x)$ está en el cierre del conjunto $f(A)$ .

(Coge un papel y dibuja los argumentos de los dos párrafos siguientes)

Para ver que el $\epsilon$ - $\delta$ continuidad implica continuidad de "cierre", supongamos que $f$ no es continua de cierre en $x$ es decir $x$ está en la clausura de algún conjunto $A$ pero $f(x)$ no está en el cierre de $f(A)$ . Entonces existe un $\epsilon$ -bola alrededor $f(x)$ que no intersecte $f(A)$ aunque cada $\delta$ -la bola se cruza $A$ . Por lo tanto, algunos $\epsilon$ -bola alrededor $f(x)$ no contiene ninguna imagen de un $\delta$ -bola alrededor $x$ y así $f$ tampoco es $\epsilon$ - $\delta$ continua.

Para ver que la continuidad del "cierre" implica $\epsilon$ - $\delta$ continuidad, supongamos que $f$ no es $\epsilon$ - $\delta$ continua. Entonces existe un $\epsilon$ -bola alrededor $f(x)$ que no contiene ninguna imagen de un $\delta$ -bola alrededor $x$ . En otras palabras, la preimagen del $\epsilon$ -bola alrededor $f(x)$ no contiene $\delta$ -bola alrededor $x$ por lo que $A$ es el conjunto de puntos que no se encuentran en la preimagen del punto $\epsilon$ -bola. Entonces $x$ está en el cierre de $A$ ya que cualquier $\delta$ -bola alrededor $x$ tiene un punto fuera de la preimagen del $\epsilon$ -y, por tanto, en $A$ mais $f(x)$ no está en el cierre de $f(A)$ desde el $\epsilon$ -bola alrededor $f(x)$ es disjunta de $f(A)$ .

Ahora bien, lo interesante es observar que la equivalencia de definiciones anterior funciona perfectamente si se sustituye $\delta$ -bolas y $\epsilon$ -balls con conjuntos abiertos en los espacios topológicos apropiados, así que realmente lo que debería importarte es cómo dar sentido a la continuidad del "cierre" en un espacio que no es un espacio métrico, y la respuesta viene dada por el wiki:Axiomas de cierre de Kuratowski .

También pueden resultarle útiles las respuestas a esta pregunta mathoverflow En concreto este por sigfpe y este por Vectornaught . El primero habla de cómo los conjuntos abiertos pueden considerarse reglas que intentan medir cosas imprecisas en el espacio vectorial (pero no explica por qué la continuidad es como es), mientras que el segundo formula los axiomas de cierre de Kuratwoski en términos de la noción intuitiva de "proximidad" de los puntos (que sí explica la continuidad).

Answer 3

Supongamos que $x$ es un punto en algún espacio topológico, entonces podemos definir $\mathcal{N}_x$ el conjunto de vecindades (no necesariamente abiertas) de $x$ . Entonces " $f$ es continua en $x$ "se define como

$$\forall V \in \mathcal{N}_{f(x)} \exists U \in \mathcal{N}_x : f(U) \subseteq V.$$

O más colorido: Cada vez que "el enemigo" viene con un barrio hábilmente elegido y "pequeño" de $f(x)$ debemos ser capaces de encontrar una vecindad de $x$ que cartografíe dicho barrio.

Lo bueno de esto es que es (¿obviamente?) la versión topológica del $\varepsilon$ - $\delta$ definición de $\mathbb{R}$ y los espacios métricos que conocemos (y amamos(?)), y es relativamente fácil demostrar que $f: X \to Y$ es continua en $x$ para todos $x \in X$ sólo si $f^{-1}(U)$ está abierto en $X$ para todos los abiertos $U \subseteq Y$ .

Lo que intento decir es que tampoco tengo mucha intuición para la definición "preimagen de conjuntos abiertos es abierta", pero no me queda claro que realmente la necesites. Tomamos esto como definición porque es sencillo, está totalmente escrito en términos de las topologías de $X$ y $Y$ (es decir, las colecciones de sus respectivos conjuntos abiertos) y se demuestra fácilmente que son equivalentes a algo de lo que sí tenemos una intuición (suponiendo que se encuentre $\varepsilon$ - $\delta$ intuitiva, obviamente).

Answer 4

Tienes toda la razón. Funciona bien cuando $X$ y $Y$ son espacios métricos, y ha demostrado su utilidad en contextos más generales. Cuando se piensa en los conjuntos abiertos como puntos "cercanos" a otro, ésta es la traducción adecuada de la habitual $\epsilon-\delta$ definición.

Answer 5

Es cierto que esta definición generaliza la de espacios métricos, pero hay otras definiciones generalizables (por ejemplo, lleva las secuencias convergentes a secuencias convergentes), y quizá la pregunta implícita en el OP sea: ¿por qué esta definición en particular?

Por supuesto, parte de la respuesta es que resulta que funciona bien, pero esto no es demasiado satisfactorio. Lo que sigue son sólo un par de cosas que se me acaban de ocurrir.

En términos más generales, dada una clase de objetos matemáticos como un espacio topológico (espacio vectorial, grupo, anillo, etc.) es natural preguntarse: ¿cuáles son los "mapas que preservan la estructura" entre tales objetos? Los espacios vectoriales son conjuntos dotados de un mapa de multiplicación escalar; los grupos son conjuntos dotados de una operación de grupo, etc., y las nociones de mapa lineal y homomorfismo se definen precisamente para preservar esta estructura.

Ahora con un espacio topológico, por supuesto, la estructura viene como un conjunto de "conjuntos abiertos". Aquí la generalización a partir de conceptos de espacios métricos es especialmente clara. Por tanto, un mapa continuo, un mapa que preserva la estructura en un espacio topológico, debe ser uno que "preserva los conjuntos abiertos". Al principio se podría pensar que un mapa de este tipo debería llevar conjuntos abiertos a conjuntos abiertos (es decir, un mapa abierto), pero si se examinan las condiciones de los conjuntos abiertos se ve que esto es malo. La cuestión es que si $f$ es un mapa de conjuntos, entonces $f^{-1}$ es en realidad mucho más "agradable" que $f$ en términos de cómo se comunica con los sindicatos, las intersecciones, etc.

De hecho, podría hacer la siguiente observación. Un mapa que preserva la estructura de $X$ a un conjunto $Y$ debe prescribir una estructura natural para $Y$ .