¿Cuál es la función del mayor entero, y cómo se integra?

Question

$[x]$ denota el mayor entero $\leq x$. Deja que $f(x)=[x]$ y deja que $g(x)=[2x].$

Estoy teniendo dificultades para entender esto. ¿Qué se entiende por "mayor entero"? ¿Alguien puede referirme a alguna explicación visual / gráfica para $[x]?$

Por ejemplo, ¿cómo dibujaríamos el gráfico para $f(x)=[\sqrt{x}]$?

También estoy un poco confundido al incluir propiedades como $[2x]=[x]+[x+1/2]$ y con $[3x],[4x]...$

Por último, ¿cómo lo integrarías?

Por ejemplo, ¿cuál sería la evaluación de la integral de $\int_1^3{[x]dx}$ y la integral de $\int_0^9[\sqrt t]dt$?

En general, estoy completamente confundido por $[x]$ y su significado y su capacidad funcional. Por lo tanto, se agradecería cualquier explicación intuitiva.

Answer 1

Dado un número real $x$, la notación $[x]$ (también a menudo vista como $\lfloor x\rfloor$) significa literalmente "el mayor entero menor o igual que $x$". Por ejemplo, $1.2$ no es un entero. Los enteros son $$\ldots,\;-4,\;-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;4,\ldots$$ Descartamos todos los enteros que no son menores o iguales a $1.2$: $$\ldots,\;-4,\;-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1\hphantom{,\;2,\;3,\;4,\ldots}$$ y tomamos el más grande de ellos, que es $1$. Por lo tanto, el mayor entero menor que $1.2$ es $1$, y escribimos $$\lfloor 1.2\rfloor =1.$ (Por cierto, mira el artículo relevante en Wikipedia.)

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Aquí tienes un gráfico de $\lfloor x\rfloor$, desde $x=-3$ hasta $x=3:

Aquí tienes una versión donde he agregado un gráfico de la función $x$ en sí misma (en rojo) y líneas que indican los enteros (en verde).

Puedes ver en este gráfico que, como esperábamos, $\lfloor 1.2\rfloor =1$.

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Aquí tienes un gráfico de $\lfloor \sqrt{x}\rfloor$, desde $x=0$ hasta $x=25$:

Aquí tienes una versión donde he agregado un gráfico de la función $\sqrt{x}$ en sí misma (en rojo) y líneas que indican los enteros (en verde).

Aquí tienes una verificación para este gráfico: usando una calculadora, sabemos que $$\sqrt{20}\approx 4.47214$$ y por lo tanto, el mayor entero que es menor o igual a $\sqrt{20}$ será $4$.

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Usando el hecho de que, para cualquier números $a

Answer 2

La notación más común hoy en día es $\lfloor x\rfloor$. "El entero más grande que es $\le x$" significa lo que dice. Todo será claro una vez que hagamos algunos ejemplos.

El número $\lfloor 3.6\rfloor$ es el entero más grande que es $\le 3.6$. Este es $3$. Entonces $\lfloor 3.6\rfloor=3$. De manera similar, $\lfloor \pi\rfloor=3$. Además, $\rfloor 17\rfloor =17$. Informalmente, si $x$ es un entero, entonces $\lfloor x\rfloor=x$. Si $x$ no es un entero, descendemos hasta encontrar el primer entero. Para $x$ positivos, eso significa eliminar la parte después del punto decimal.

Pero es fácil confundirse un poco cuando aplicamos la función del mayor entero a números negativos. Ten en cuenta que $\lfloor -4.7\rfloor=-5$, ya que el entero más grande que es $\le -4.7$ es $-5$. Afortunadamente, uno se encuentra principalmente con $\lfloor x\rfloor$ con $x$ positivos.

Ahora hagamos una integración, como por ejemplo $$\int_0^9 \left\lfloor \sqrt{x}\right\rfloor \,dx.$$

Sea $f(x)=\left\lfloor \sqrt{x}\right\rfloor$. Primero veremos cómo se ve $f(x)$.

Para $0\le x\lt 1$, tenemos $0\le \sqrt{x}\lt 1$, y por lo tanto $\left\lfloor \sqrt{x}\right\rfloor=0.

Para $1\le x\lt 4$, tenemos $1\le \sqrt{x}\lt 2$, y por lo tanto $\left\lfloor \sqrt{x}\right\rfloor =1.

Para $4\le x\lt 9$, de manera similar tenemos $\left\lfloor \sqrt{x}\right\rfloor=2$. Y finalmente para $x=9$ tenemos $\left\lfloor \sqrt{x}\right\rfloor=3.

Entonces $f(x)$ está definido por diferentes fórmulas en diferentes partes del mundo. Es $0$ en el intervalo $[0,1)$, y $1$ en el intervalo $[1,4)$, y $2$ en el intervalo $[4,9)$, y $0$ en 9. Deberías graficar $y=f(x)$ para ver claramente lo que viene a continuación.

Para integrar, integramos por separado sobre nuestros intervalos, y sumamos. Entonces queremos $$\int_0^1 (0)\,dx+\int_1^4 1\,dx+\int_4^9 2\,dx+\int_9^9 3\,dx.$$ La primera integral y la última son ambas $0$. Las dos del medio son $3$ y $10$, por lo que nuestra integral es $13$. Las integraciones individuales son fáciles: geométricamente, solo estamos encontrando áreas de rectángulos.

Answer 3

En tu ejemplo, $[x]$ también es conocida como la función techo. Puedes pensar en esto como la función de "redondeo hacia arriba". A veces también se denota como $\lceil x\rceil$. En cuanto a gráficos, se ve así.

Para tu gráfico de $[\sqrt{x}\,]$, puedes ver aquí.