Encuentra una matriz con determinante igual a $\det{(A)}\det{(D)}-\det{(B)}\det{(C)}$

Question

Supongamos que tengo 4 matrices $A,B,C,D\in\Bbb{R}^{n\times n}$ . Quiero construir una matriz $E\in\Bbb{R}^{m\times m}$ tal que:

$$\det{(E)}=\det{(A)}\det{(D)}-\det{(B)}\det{(C)}$$

bajo los siguientes supuestos:

1. $m$ puede ser cualquier número que queramos, pero yo prefiero $2n$ .
2. $E$ no debe contener los términos $\det{(A)},\det{(B)},\det{(C)},\det{(D)}$ . eso significa que la matriz $\begin{pmatrix} \det{(A)} & \det{(B)} \\ \det{(C)} & \det{(D)} \end{pmatrix} $ no es el caso...
3. No puede haber más suposiciones sobre $A,B,C,D$

Ya he comprobado la matriz $\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} $ pero no es eso...

¿Alguien tiene una idea de lo que $E$ ¿puede ser?

Answer 1

Nota: Esta respuesta es errónea, como se indica en los comentarios de abajo.

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Dejemos que $M \oplus N$ denotan la matriz diagonal de bloques $$ M \oplus N = \pmatrix{M&0\\0&N} $$ Entonces una solución con $m = 4n$ es $$ E = \pmatrix{A \oplus I & I \oplus B\\I \oplus C & D \oplus I} $$ donde $I$ denota el $n \times n$ matriz de identidad.

Answer 2

Dejemos que $s$ sea el producto de las entradas diagonales de $A$ y las entradas diagonales de $D$ , dejemos que $t$ sea el producto de las entradas diagonales de $B$ y las entradas diagonales de $C$ y considerar el $m\times m$ matriz $E=\begin{pmatrix}\det{(A)}\det{(D)}-\det{(B)}\det{(C)}-s+t&s-t\\-1&1\\&&1\\&&&\ddots\\&&&&1\end{pmatrix}$ . Observe que puede elegir cualquier $m$ siempre y cuando sea al menos $2$ .

Answer 3

Cuando $m=1$ , está claro que lo que pides es imposible en general.

Cuando $m\ge2$ , dejemos que $a=\det(A), b=\det(B), c=\det(C), d=\det(D)$ y $e=\det(AD)-\det(BC)$ . Hay dos casos:

1. Si $e=0$ , toma $E$ para ser $x$ veces la matriz todo-uno para cualquier tamaño suficientemente grande $x>0$ .
2. Si $e\ne0$ , dejemos que $S_m$ sea el matriz simétrica de Pascal de tamaño $m$ que es una matriz entera positiva de determinante 1 y cuya primera fila es una fila de unos. Ahora, cualquier matriz suficientemente grande $x>0$ tenemos $x>a,b,c,d$ y $\frac{e}{x^{m-1}}\ne a,b,c,d$ . Por lo tanto, podemos tomar $$ E=\operatorname{diag}\left(\frac{e}{x^{m-1}},x,x,\ldots,x\right)\,S. $$