En NSA (ZFC+IST), ¿qué podemos decir de los generadores para $\mathbb{Z}/\nu\mathbb{Z}$ para un número ilimitado de $\nu$ ?

Question

Recientemente he estado revisando un breve texto sobre el análisis no estándar que utiliza el enfoque axiomático de Nelson (Internal Set Theory - IST). Su estudio me ha llevado a sentir curiosidad por las propiedades de los campos de enteros módulo $p$ prime cuando $p$ es ilimitado ( $\nu$ ). Esto es interesante porque, en cierto sentido, contiene toda la aritmética de la norma $\mathbb{Z}$ en un conjunto finito. Aunque no espero encontrar necesariamente nada novedoso, creo que es instructivo con respecto a la NSA/IST.

Como hay infinitos primos, sabemos por la idealización que hay un primo ilimitado que llamaré $\nu$ . Nos gustaría ver $\mathbb{Z}/\nu\mathbb{Z}$ , donde $\nu$ es un número primo ilimitado. Esto puede tomar la definición habitual (y las propiedades) por el axioma de transferencia.

$$\mathbb{Z}/\nu\mathbb{Z}=\{[0],[1],[2],\ldots ,[\nu -1]\}$$

Tenga en cuenta que en IST esto es finito (a pesar de "contener" todos los estándares $\mathbb{Z}$ ) ya que existe una biyección con $\{1,2,\ldots ,\nu\}\subseteq\mathbb{N}$ . (En el enfoque axiomático de IST para la ANS, $\mathbb{N}$ contiene elementos no estándar, números ilimitados, que son simplemente "revelados" por los axiomas. Esto contrasta con los otros enfoques de la NSA que en realidad extienden $\mathbb{N}$ .)

Para $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ tendríamos la existencia de un $k\in\mathbb{N}, k<p$ tal que $$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\{[0],[k^1],[k^2],\ldots ,[k^{p-1}]\}$$

Por lo tanto, creo que es razonable preguntarse si existe una $\kappa\in\mathbb{N}, \kappa<\nu$ tal que $$\mathbb{Z}/\nu\mathbb{Z}=\{[0],[\kappa^1],[\kappa^2],\ldots ,[\kappa^{\nu-1}]\}$$

En particular, ¿existe un número ilimitado de $\kappa$ ? ¿Es necesariamente ilimitado? ¿Necesariamente limitado?

De ser así, tendríamos un "generador" ilimitado para todos los elementos estándar de $\mathbb{Z}/\nu\mathbb{Z}$ (más algunos no estándar).

Aunque cualquier solución es bienvenida, agradecería especialmente las respuestas capaces de dilucidar la situación con los axiomas de la TSI.

Answer 1

Se pregunta si el grupo multiplicativo de $\mathbb{Z}/\nu\mathbb{Z}$ es cíclico, y esto es cierto: $\mathbb{Z}/\nu\mathbb{Z}$ es un campo finito, y los grupos multiplicativos de campos finitos son cíclicos, nada impide realizar la prueba habitual en IST.

Considere la conjunto de primos $p$ para el que 2 es un generador del grupo multiplicativo mod $p$ . Esto es Conjeturado para ser infinito, en cuyo caso contiene un elemento no estándar (que los conjuntos infinitos contienen elementos no estándar se demuestra en el libro de Robert, de hecho es el Principio Básico número 1 en la cubierta interior de mi copia). Mejor, según una respuesta a esta pregunta del modus operandi el conjunto de primos para los que $2,3$ o $5$ es una raíz primitiva se sabe que es infinita, por lo que existen primos illimitados cuyos grupos multiplicativos están generados por $2,3$ o $5$ .

El número de generadores del grupo multiplicativo mod $\nu$ es $\phi(\nu-1)$ . Desde $\nu-1$ está mal delimitado, también lo está $\phi(\nu-1)$ (la factorización en primo de $\nu-1$ debe tener un primo illimitado o un primo limitado a una potencia illimitada o contener un número illimitado de primos distintos limitados, por lo que utiliza la multiplicidad de $\phi$ ).

Lemma: un conjunto de números naturales cuyo tamaño es illimitado debe contener un elemento illimitado. Prueba: el conjunto es finito, por lo que tiene un máximo. Si el máximo fuera estándar entonces el conjunto estaría contenido en un intervalo estándar, por lo que tendría tamaño estándar.

Podemos concluir que siempre hay una raíz primitiva no limitada.

Es un teorema que existe una constante (¡estándar!) $C$ tal que hay infinitos primos $p$ para el que la raíz primitiva menos positiva tiene tamaño $C \log p$ . Por lo tanto, existe un primo no limitado $\nu$ satisfaciendo esto, por lo que todos los elementos de $[0,\nu-1]$ que generan el grupo multiplicativo son illimitados. (Esto es exactamente el comentario de André Nicolas más arriba).

Answer 2

Suponiendo que $\nu$ es 1 mod 4, si $\kappa$ es un generador, entonces también lo es $\nu-\kappa$ . Uno de los dos está necesariamente mal delimitado. Por lo tanto, siempre hay un generador no limitado.

Por lo demás, $\nu-\kappa$ es el cuadrado de un generador $\alpha$ . Aquí si $\alpha$ fueran finitos, entonces $\nu-\kappa$ también sería finito.

Por lo tanto, en cualquiera de los dos casos, existe necesariamente un generador no limitado. Si $\kappa$ es finito, entonces $\nu-\kappa$ (en el caso de 1 mod 4) o $\alpha$ (en el caso 3 mod 4) es un generador ilimitado.

Answer 3

Si $\nu=2^k$ es una potencia de 2 entonces el grupo multiplicativo módulo $\nu$ es generado por el coset del número $5$ (para todos los $k$ ). Por transferencia esto sigue siendo cierto para infinitas potencias $k$ . Por lo tanto, en el caso hay un generador finito para el grupo multiplicativo.