¿Es una función simplificada lo mismo que el original?

Question

¿Es una función simplificada lo mismo que el original?

Ejemplo:

Que $f(x) = \frac{ax}{x}$ y $g(x) = a$

donde $a$ y $x$ son números reales.

¿Hace $g$ = $f$?

Answer 1

Una convención común para funciones reales de variables reales es el de la "natural dominio de una función":

Si una función $f$ está dada por una fórmula, y un dominio no está explícitamente especificado, entonces el dominio es entendida como el "dominio de la naturaleza de la $f$", lo que significa que todos los números reales para los cuales la fórmula tiene sentido y produce un resultado único.

Otra convención común para este tipo de función es que dos funciones son considerados iguales si y sólo si tienen el mismo dominio, y tienen el mismo valor a cada elemento de su dominio.

Si tomamos ambos convenios, a continuación, $$f(x)=\frac{ax}{x}\quad\text{and}\quad g(x) = a$$ no son iguales, ya que el dominio de $f(x)$ consiste de todos los números reales excepto $0$; mientras que el dominio de $g(x)$ es todos los números reales, incluyendo la $0$. Desde $f$ $g$ tienen dominios diferentes, no son iguales como funciones.

Por otro lado, $$f(x)=\frac{ax}{x}\qquad\text{and}\quad g(x)=a, x\neq 0$$ son iguales, porque "$x\neq 0$" después de $g(x)$ es la especificación del dominio de forma explícita, lo que significa que $g(x)$ ahora tiene el mismo dominio como $f(x)$ (todas las $x\neq 0$), y tienen el mismo valor en cada punto de su dominio común.

Si usted está operando en virtud de estos convenios (que son los habituales de los convenios, por ejemplo, en la mayoría de los libros de texto de cálculo en los Estados Unidos que yo conozco), luego al simplificar la fórmula para una función, usted debe comprobar para ver si usted todavía no cambiar de forma implícita el dominio. Algunas simplificaciones no importa; por ejemplo, $f(x) = (x-1)^2-1$ $g(x) = x^2-2x$ son iguales como funciones (mismo dominio todos los números reales, y el mismo valor a cada número real). Otros (como el que hizo).

Answer 2

Depende de lo que usted necesita para ser el dominio de cada uno. Si se les da el mismo dominio (que por supuesto no se puede incluir el $0$), entonces son la misma función. Por ejemplo, considera como funciones con dominio igual al conjunto de los números reales positivos, $f=g$.

Si se les da a dominios diferentes, sin embargo, ya no son la misma función, aunque sigue siendo cierto que la $f(x)=g(x)$ todos los $x\in\operatorname{dom}f\cap\operatorname{dom}g$, es decir, para todos los $x$ que $f$ $g$ definidos.

En el primer año de un curso de cálculo se asume a menudo que una función tiene como implícita de dominio el subconjunto más grande de $\Bbb R$ en que está definida. Con la convención de las $f$ $g$ tienen diferentes dominios: el dominio de $g$ es de $\Bbb R$, pero el dominio de $f$ es sólo $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$. Técnicamente, entonces, son de diferentes funciones.

Answer 3

En la matemática contemporánea, una función debe ser definida por medio de: (1) un conjunto llamado "dominio de definición"; (2) un conjunto denominado co-dominio; (3) una "regla" o una "ley" que manda a cada elemento del conjunto (1) a uno (y sólo uno) de los elementos del conjunto (2). Si no te gusta pensar en términos de subconjuntos de productos cartesianos, una función es un triple. Como te han dicho, el cálculo es abundante de funciones que fueron utilizados por los pioneros: reglas justas.

Esto puede ser tolerado en muy bajos niveles de enseñanza, sino que debe ser reemplazado por una definición más precisa, más bien pronto. Y nosotros, los maestros y profesores, deben dejar de pedir a nuestros estudiantes "para encontrar el dominio de definición de la función siguiente", ya que no hay función sin un dominio.