Resolver $\vert i+2i^2+3i^3+...+ni^n\vert$ = $18\sqrt 2$ $n$, donde $i^2=-1$

Question

Supongamos que $n\in \mathbb N$ tal que $\vert i+2i^2+3i^3+...+ni^n\vert$=$18\sqrt 2 $.Where $i$ es una raíz cuadrada de $-1$. Entonces ¿cuál es el valor de $n$?

Solución: Que $S_n=i+2i^2+3i^3+...+ni^n\tag{1}$

Entonces $iS_n=i^2+2i^3+3i^4+...ni^{n+1}\tag{2}$

Restando el $(2)$ $(1)$, obtenemos

$$S_n(1-i)=(i+i^2+i^3+...+i^n)-ni^{n+1}$$ hence $$S_n=\frac{i(1-i^n)}{(1-i)^2}-\frac{ni^{n+1}}{1-i}=\frac{i(1-i^n)}{-2i}-\frac{ni^{n+1}}{1-i}$$

Esto es donde me han pegado.

Answer 1

$18\sqrt 2$ es posible si y sólo si la solución es de la forma ${|\pm18 \pm18i| }$ (como hemos términos en la secuencia)("si y sólo si"-parte proviene del hecho de que ${a^2+b^2=18^2*2}$ sólo ha entero de soluciones de ${a,b}$${\pm18}$)

Así que de nuestra parte real debería ser ${\pm18 }$ y la parte imaginaria debe ser ${\pm18i }$

Ahora de problemas, para la parte real:

-2+4-6+8... = 18 si el último término es de 36

o

-2+4-6+8... = -18 si el último término es -34

Para la parte imaginaria:

1-3+5-7...=-18 si el último término es -35

Para n=36(o 35 dependiendo de tomar la suma de reales a ser +18 o -18)