Lo bueno es infinito?

Question

Estoy cada vez más convencido de que Wildberger opiniones son, si un poco extraño, al menos no irremediablemente incompatible.

Cuando estaba leyendo los comentarios en el video siguiente (MF17), alguien dijo algo que me sorprendió un poco, porque yo era incapaz de darle una respuesta que me pareció satisfactoria:

La razón considero que [el axioma del infinito] restrictiva es que te obliga a aceptar la existencia de un cierto conjunto que tiene todo tipo de extrañas propiedades, como la existencia de uno-a-uno y en las asignaciones de algunos conjuntos apropiado de las superseries. De que los tornillos hasta su intento de asignar cardinalidades de los conjuntos (véase la hipótesis continua), y no comprar mucho: se puede tener un conjunto de todos los conjuntos? ¿Por qué no? La verdadera pregunta es, ¿qué piensa usted conjuntos infinitos, de hecho, comprar en términos de poder de razonamiento?

El punto sobre el continuum de la hipótesis de que podría decirse que es de sentido; como yo lo entiendo CH dice que es difícil asignar a cada uno de cardinalidad de un conjunto, pero nada acerca de la dificultad de asignar a cada conjunto de cardinalidad.

Sin embargo, el núcleo de la cuestión es un poco más difícil para mí responder. Mi respuesta inmediata es que permite el infinito da una especie de integridad. Pero a medida que la persona se señaló, no terminar el trabajo, simplemente (dramáticamente) patadas abajo de la línea, donde el nuevo concepto de "demasiado grande". La introducción de las clases empuja aún más, pero el mismo problema se plantea, creo: no hay aún ninguna clase de todas las clases.

Así que mi siguiente idea fue, así, el infinito no me compre poder de razonamiento, pero sí proporciona una fuente de satisfacciones de los muchos ejemplos. Pero no estoy seguro de si eso es cierto: Wildberger alternativa a ZFC es (si es consistente) un tipo de teoría, o al menos, que usa el lenguaje de tipo de teoría. Sé muy poco acerca de la teoría tipo así que si usted desea hacer referencia a ella en una respuesta, sería grande si usted podría utilizar pequeñas palabras :)

Con el tipo de teoría en su lado ni siquiera está claro que tengo mucho menos restrictiva universo de objetos que puedo hablar, sólo una no del todo arbitrario límite donde los conjuntos no están permitidos y los tipos deben tomar el relevo. Esto podría ser dramáticamente la imagen equivocado, ya que como he dicho soy muy nuevo en esto.

Y ahora estoy atascado. Nadie puede guardar el Cantor del paraíso para mí?

Answer 1

Yo podría argumentar en contra de Wildeberger los puntos de vista filosóficos directamente, pero yo realmente no veo el punto.

La razón es que los argumentos filosóficos no son un método muy bueno para la toma de decisiones. Lo que funciona mucho mejor en casi todos los casos, es la experimentación y prueba. Si queremos averiguar la mejor fundamentos de las matemáticas, el único método efectivo es experimentar: debemos inventar algunas fundaciones, y luego de averiguar qué es la matemática puede hacer con ella.

Entonces, ¿qué hace el axioma de infinitud comprar? Bueno, todos los de la matemática moderna.

No puedo pensar en un solo campo de las matemáticas en la que no usa el axioma del infinito sobre una base regular, y no me puedo imaginar como prácticamente cualquiera de los importantes resultados en matemáticas descubiertas durante el siglo pasado podría ser probado o incluso dijo que sin el axioma de infinitud. Es enormemente conceptualmente útil ser capaz de considerar la infinita colecciones de objetos.

En general, ZFC ha sido bastante exitosa como fundamento de las matemáticas durante el último siglo, y se necesitaría una enorme cantidad de evidencia para convencer a la comunidad matemática a cambiar a alguna otra fundación.

Si Wildberger quiere mostrar que las matemáticas sería mejor sin el axioma de infinitud, deberá demostrar que su alternativa fundaciones son limpiador o más poderoso que ZFC. El primer paso sería conseguir algunos de los teóricos interesados en un aplicables versión de la teoría de conjuntos que no incluye el axioma de infinitud, de modo que pueda empezar a investigar las matemáticas que los resultados. Esto no es algo inaudito: ha habido una gran cantidad de trabajo, por ejemplo, en las nuevas fundaciones como una posible alternativa a ZFC, o en la no-estándar de análisis como una posible alternativa para el análisis.

Pero hace muy poco para argumentar de manera abstracta acerca de los posibles defectos de ZFC sin ofrecer una alternativa viable, donde "factible" significa "suficiente para el desarrollo de prácticamente todos los de la matemática". Si usted no puede conseguir el último teorema de Fermat y la conjetura de Poincaré, entonces usted no tiene una alternativa viable a ZFC.

Answer 2

Someter el mismo a estos siete minutos de horror absoluto, permítanme hacer algunos comentarios sobre el vídeo y en las ideas que presenta.

1. La revisión histórica es sesgada y fuera de contexto. También omite el hecho de que Hilbert, von Neumann, Dedekind, y muchos otros de los grandes matemáticos del pasado siglo y medio, de hecho, han aceptado y acogió con beneplácito la idea de conjuntos infinitos.

   La manera que él salta de 1900 a 2009 se presenta como si "alguien lavado de cerebro de los matemáticos durante los últimos cien años, pero me han dejado la matriz!", y no es que en realidad este fue un progreso natural. Y que la gente aceptó conjuntos infinitos porque es muy interesante.

2. Estas maldito "axiomatics", que nadie lo usa. Bien, seguro, pero yo también no uso directamente única de átomos de oxígeno. Por supuesto, el hecho de que yo respiro moléculas de dióxido de (entre otras cosas), y mi cuerpo las utiliza para mí, no significa que yo uso.

3. Por último, a juzgar por su video, su mente está limitada a lo que él puede ver. Conjuntos infinitos no realmente existen. Seguro, que no podemos demostrar su existencia física, y no son muchos los matemáticos afirman lo contrario. Pero es de matemáticas realmente acerca de la realidad? Gracias a dios, no lo es. Al menos no en los últimos dos siglos.

   Y ni siquiera me voy a empezar a hacer frente a profundos temas filosóficos como la epistemología y así sucesivamente.

Ahora, ¿qué conjuntos infinitos nos dan? Primero de todo, ellos nos dan la rica y hermosa teorías donde uno no siempre tiene que correr alrededor de contar y obligado de todo. Exactamente por el hecho de no poder contar con ellos desde la parte superior a la parte inferior, conjuntos infinitos nos permiten ser muy bellos teoremas sobre ellos.

En el clásico, y más impresionante, por ejemplo, es de hecho, el teorema de Ramsey. La prueba directa de que el caso finito de cantidades a contar los argumentos de los que están involucrados y molestos; el infinito de la prueba es clara, simple y consiste en el teorema de compacidad.

Este es exactamente el mismo argumento en favor de que el axioma de elección, que por cierto, no nos permite generalizar las cosas, y demostrar perfectamente, usando el hecho de que ciertos objetos de existir; de lo contrario, uno tiene que empezar a correr alrededor de la combinatoria de los argumentos y las cosas se ponen difíciles.

Pero. No hay ningún problema real con el rechazo de la existencia de conjuntos infinitos. Que está bien. Pero esto es una creencia filosófica. Y al igual que cualquier otra creencia, uno tiene que pensar por su cuenta y decidir. Usted puede decidir rechazar la evolución (a pesar de la abrumadora evidencia), pero eso significa que usted probablemente no va a ser bien recibido en una moderna sociedad académica. En su lugar, usted puede ser que desee considerar salir con la buena gente de "Nuestro Señor, El Creador de la Universidad de Creacionismo" en su lugar.

La pregunta que usted debe preguntarse es: ¿qué es la matemática? Si para usted la matemática es la ciencia de contar el cambio correctamente, que su declaración de impuestos (vudú y la brujería), y convertirse en un carpintero, entonces por todos los medios. No hay necesidad para que usted acepte conjuntos infinitos, en absoluto. Tampoco hay necesidad para que usted mire cualquier pintura a excepción de los modelos, de escuchar cualquier tipo de música, aparte de su rompecabezas y un martillo, o disfrutar de cualquier comida, otros de mal gusto nutrientes.

Si para usted las matemáticas es una increíble idea abstracta, que casualmente acaba de modelado de un montón de fenómeno físico, entonces es probablemente va a ser una buena idea si usted acepta la idea de conjuntos infinitos.

Permítanme terminar con algo que he dicho más de una vez antes. Yo no tengo un problema con finitism, o incluso ultrafinitism. Tengo un problema con la forma en que muchas de esas personas argumentan en contra de infinitism, me referiría a Louis CK, para el momento en que tomé de él (él está hablando acerca de la evolución).

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Oh, sí, en el medio de escribir la respuesta parece que me olvidé de abordar la cuestión acerca de la hipótesis continua.

Podemos asignar cardinalidades para cada conjunto, ese no es el problema. Y los conjuntos infinitos tienen esta "patología", donde un subconjunto puede tener la misma cardinalidad que el conjunto original.

El problema con $2^{\aleph_0}=\aleph_2$ (o cualquier otro valor constante) es que la costumbre axiomas, id est $\sf ZFC$, no puede decidir el valor exacto.

Answer 3

Mi respuesta inmediata es que permite el infinito da una especie de integridad. Pero a medida que la persona se señaló, no termina el trabajo, simplemente (dramáticamente) patadas abajo de la línea, donde el nuevo concepto de "demasiado grande".

Tal vez yo soy la incomprensión de la pregunta, pero he pensado que es el punto entero de la noción matemática del infinito - articular en un camino posible a lo "demasiado grande" significa, en cualquier caso dado.

Como otros han dicho, si usted puede deshacerse de la actual marco, ¿cómo vas a probar cosas básicas como la continuidad?

En una manera, puedo entender donde Wilberger, pero creo que su crítica está fuera de lugar. En mi opinión, las críticas acerca de infinity tiene un lugar en las estadísticas. Hay un montón de preocupación acerca de lo que la distribución es cuando la muestra (o población) es infinito, y mucho menos (en mi opinión) la preocupación por la pequeña muestra las estadísticas y hacer inferencias apropiadas teniendo en cuenta el ejemplo que se tiene. En muchos de los casos, usted no tiene el lujo de tener una gran cantidad de muestras.