¿Cómo resolver la ecuación trigonométrica $\sin x + \cos x=\sin 2x + \cos 2x$?

Question

Pregunta: Resolver la ecuación trigonométrica: $\sin x + \cos x=\sin 2x + \cos 2x$.

Mi intento:

$\sin x + \cos x=\sin 2x + \cos 2x$

$\implies \sin x + \cos x=2\sin x \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x$

$\implies \sin x + \cos x=2\sin x \cos x + \cos^2 x - (1-\cos^2 x)$

$\implies \sin x + \cos x=2\sin x \cos x + 2\cos^2 x - 1$

$\implies \sin x - 2\sin x \cos x + \cos x - 2\cos^2 x= - 1$

$\implies \sin x(1-2\cos x)+\cos x(1-2\cos x)=-1$

$\implies (1-2\cos x)(\sin x+\cos x)=-1$

$\implies (1-2\cos x)=-1$ o $(\sin x +\cos x)=-1$

$\implies \cos x=1$ o $\sin^2 x +\cos^2 x + 2\sin x\cos x=1$

$\implies x=2n\pi$ o $\sin 2x=0$

$\implies x=2n\pi$ o $2x=n\pi$

$\therefore x=2n\pi$ o $x=\frac{n\pi}{2}$

Pero las respuestas que se dan en mi libro se $x=2n\pi$$x=\frac{(4n+1)\pi}{6}$. Donde he ido mal? Por favor, ayudar.

Answer 1

Para ampliar el comentario de @gribouillis, el error en su argumento es este paso:

$(1-2\cos x)(\sin x+\cos x)=-1$

$\implies (1-2\cos x)=-1$ $(\sin x +\cos x)=-1$

Esto es una implicación incorrecta.

$ab=c$ sólo implica $a=c$ o $b=c$ cuando $c=0$.

$c=-1$ Como en este caso, usted podría tener % o $a=1,b=-1$ $a=5,b=-0.2$o $a=-1000,b=0.001$ o un número infinito de otras combinaciones.

Answer 2

Resta de uso: $$\sin 2x−\sin x=\cos x−\cos 2x$ $ $$2\sin\frac{x}2\cos\frac{3x}{2}=2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}$ $ % así, $$\sin\frac{x}{2}=0$$ o $$\tan\frac{3x}{2}=1$ $