No se puede que cada estándar número real positivo es limitado probarse?

Question

Estoy leyendo una breve sección sobre la interna de la teoría de conjuntos(ver aquí), en la que

$x$ es limitada en el caso de que por algún estándar $r$ tenemos $|x| ≤ r$.

mientras que el predicado "estándar" no está definido. Yo soy la interpretación de un elemento $x \in A$ es estándar, si dosn no pertenecen a $^*A \setminus A$.

Uno de los ejercicios en la pregunta:

Se puede demostrar que cada estándar número real positivo es limitado?

Yo creo que no. Porque cualquiera de las $\{x \in {\bf{R}} : x >0 \land x \text{ is standard} \}$ o $\{x \in {\bf{R}} : x \text{ is limited} \}$ son "ilegales conjunto de formaciones" en el lauguage de la teoría de conjuntos. así que no hay manera de saber si un elemento en un conjunto pertenece necesariamente a la otra.

Por otro lado, estoy dudoso acerca de este razonamiento, ya que si $x$ es un estándar número real positivo, por lo que es $x+1$. Debido a $x < x+1$, tenemos cada estándar número real positivo debe ser limitado.

Qué tiene de malo?

Answer 1

Hay una diferencia entre decir que el conjunto de los números limitados existe, y que el conjunto de los números existe, y que cada estándar número es limitado.

Para ver el significado completo de esta, permítanme darles un ejemplo muy cercano. En $\Bbb R$ no podemos definir a $\Bbb Z$, pero podemos definir cada uno de los enteros, y por lo tanto podemos definir a cada número natural si queremos definir. Todavía no podemos definir a $\Bbb N$ sí.

Del mismo modo aquí, no podemos definir el conjunto de reales, ni el conjunto de los reales limitados. Pero podemos probar que cada estándar real es limitada. Simplemente con el argumento de que si $r$ es estándar, a continuación, $|r|$ también es estándar, y por lo tanto $|r|\leq|r|$ como quería.