Permítanos integrar a lo largo del contorno de la $\Gamma$, que es el semicírculo de radio $R$ descrito anteriormente. Deje $C_R$ ser el arco de la curva de nivel con el radio de $R$. Podemos decir que
$$\oint_{\Gamma}\frac{\cos z}{z^2+a^2}\, dz=\int_{-R}^{R}\frac{\cos x}{x^2+a^2}\, dx+\int_{C_R}\frac{\cos z}{z^2+a^2}\, dz$$
Tenga en cuenta que $\cos x = \operatorname{Re}\,(e^{ix})$. Así
$$
f(z)=\frac{\operatorname{Re}\(e^{i})}{z^2+a^2} = \operatorname{Re}\,\left(\frac{e^{i}}{(z+ia)(z-ia)}\right)
$$
Debido a $f(z)$ puede ser escrito ias $g(z)e^{iaz}$ y basta de todo de las condiciones de Jordania lema, vemos que la integral a lo largo del arco tiende a cero cuando $R\to \infty$. Así
$$
\lim_{R\to\infty}\oint_{\Gamma}\frac{\cos z}{z^2+a^2}\, dz=\lim_{R\to\infty}
\int_{-R}^{R}\frac{\cos x}{x^2+a^2}\, dx+0
$$
Para resolver la LHS, nos encontramos con los residuos. El residuo, similar a la que se encuentra
$$
b=\frac{e^{i^2a}}{ia+ia}=\frac{e^{-a}}{2ia}
$$
Así
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^{2} + a^{2}}\, dx=
\lim_{R\to\infty}\oint_{\Gamma}\frac{\cos z}{z^2+a^2}\, dz=\operatorname{Re}\,\left(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i}}{z^{2} + a^{2}}\, dz\right)
=\operatorname{Re}\,(2\pi ib)=\operatorname{Re}\,(2\pi i\frac{e^{-a}}{2ia}) = \frac{\pi e^{-a}}{a}
$$
De manera similar, con $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \sin x}{x^{2} + a^{2}}\ dx$ cambio $\sin x$ $\operatorname{Im}\,(e^{ix})$y hacer la función de valores complejos.
$$g(z)=\frac{z\sin z}{z^2+a^2}=\operatorname{Im}\,\left(\frac{ze^{iz}}{(z+ia)(z-ia)}\right)$$
Jordan lema de nuevo, puede ser utilizado para demostrar que la integral de todo el arco tiende a cero, como se $R\to\infty$. Luego procedemos a encontrar los residuos.
El residuo de la pole $z_1=ia$ es
$$b=\frac{iae^{-a}}{2ia}=\frac{e^{-a}}{2}$$
$z_1$ es el único polo en el contorno, de modo que, en la multiplicación de su residuo, $b$, $2\pi i$ nos encontramos con:
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \sin x}{x^{2} + a^{2}}\, dx=
\lim_{R\to\infty}\oint_{\Gamma} \frac{x \sin x}{x^{2} + a^{2}}\, dz=
\operatorname{Im}\,\left(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ze^{iz}}{(z+ia)(z-ia)}\, dz\right)=
\operatorname{Im}\,(2\pi ib)=
\operatorname{Im}\,(2\pi i \frac{e^{-a}}{2})=
\operatorname{Im}\,(\pi e^{-a}i)=
\pi e^{-a}
$$