Demostrando un polinomio desigualdad en los números reales. $x^{16}-x^{11}+x^6-x+1>0$

Question

Demostrar que $x^{16}-x^{11}+x^6-x+1>0$$x\in R$.

Así que pensé en algo como esto: $$x^{10}(x^6-x)+x^6-x>-1$$ $$(x^{10}+1)(x^6-x)>-1$$

Pero parece no ser mucho de ayuda. Mientras que el primer tramo es siempre positivo, éste no puede ser (o no sé cómo hacerlo) transforma fácilmente a una forma de mostrar que es positivo. Sé que puede ser resuelto por pensar en los tres casos (para x>1, x<0 y $x\in <0,1>$), pero implica la transformación de la inicial de la desigualdad tres veces cada vez que basar más en nuestra habilidad con este tipo de problemas (me refiero a alguien que no haya trabajado en dicho anteriormente tendría un tiempo difícil conseguir que la desigualdad en una forma adecuada para mostrar cada caso) en lugar de observaciones sobre el terreno, pero este puede ser resuelto en algunos de manera más fácil?

Answer 1

El Factoring como lo hizo anteriormente, estamos mirando $$(x^{10}+1)(x^6-x)+1.$$ The term $x^{10}+1$ is always $\geq 0$, and $x^6-x\geq 0$ when $x\leq 0$ or when $x\geq 1$. This means we have verified the inequality holds everywhere except for $x\in(0,1)$. To deal with this interval, group terms and write the polynomial as $$ (1-x)+(x^6-x^{11})+(x^{16}).$$ For $x\in (0,1)$ each of these terms is positive, which allows us to conclude that the inequality holds for all $x\in\mathbb{R}$.

Answer 2

No hay ningún problema al $x$ es negativo.

Ahora lidiar con $x\ge 0$. Parece natural multiplicar por $x^5+1$. Llegamos $x^{21}+x^5-x+1$. Si $0\le x\lt 1$, ya $-x+1$ es positivo. Si $x \ge 1$,$x^5-x \ge 0$, lo $x^{21}+x^5-x+1$ es positivo. Multiplicando funciona de la misma manera con más polinomios de estructura similar.