En primer lugar, permítanme afirmar que es imposible deducir el resultado con total generalidad, es decir, que es válido para cualquier modelo estadístico, simplemente porque esto es falso. Para que el resultado sea válido, hay que hacer ciertas suposiciones físicas sobre el sistema. Pero para demostrar realmente algo (en el sentido matemático) también hay que requerir una suposición técnica adicional (las matemáticas son simplemente difíciles aquí, no hay manera de evitarlo).
La forma más habitual es trabajar en un entramado $S$ (como $S = \mathbb Z^d$ ), es decir, con un espacio discretizado (esto facilita mucho la vida aunque sigue siendo bastante difícil) y también supongamos que nos dan un espacio de campos $(E, \mathcal E, \lambda_0)^S$ où $(E, \mathcal E, \lambda_0)$ es un buen espacio de medida. Finalmente, dejemos que el sistema sea descrito por una colección de potenciales $(\Phi_A)_{A \subset S}$ describiendo las interacciones en algún subconjunto $A$ de la red tal que la energía $H_x(\cdot) = \sum_{A \ni x} \Phi_A(\cdot)$ en cada sitio de la red es finito $\int H_x(\omega) \lambda(d\omega) < \infty$ où $\lambda$ es la medida del producto en $E^S$ (por ejemplo, modelos de espín de rango finito como el modelo Ising), podemos demostrar que cualquier medida de Gibbs ergódica invariante de desplazamiento (aquí ergódica se refiere a la traslación de desplazamiento en la red, no a la evolución temporal a la que te refieres) satisface entonces un principio variacional (de maximización de un funcional de entropía en algún espacio razonable de medidas) y, en consecuencia, las cantidades macroscópicas calculadas a partir de ella tendrán todas las propiedades termodinámicas agradables.
Dos referencias estándar para esto serían
- Ruelle's Formalismo termodinámico . Hay que tener en cuenta que el libro está dirigido a matemáticos, es muy obtuso y difícil de seguir y requiere conocimientos de topología, análisis funcional y teoría de la medida.
- Georgii's Medidas de Gibbs y transiciones de fase donde una parte entera del libro se dedica al tratamiento formal del problema variacional para las medidas. También estudia la geometría del espacio de medidas de Gibbs a medida que se varía el potencial (puesto que hay una medida de Gibbs extrema para cada fase para el potencial dado, esto no es otra cosa que el diagrama de fases con las líneas de coexistencia, etc.; aunque aquí el diagrama de fases es en realidad infinito-dimensional). Aquí uno puede arreglárselas con sólo un conocimiento rudimentario de las áreas mencionadas, ya que Georgii desarrolla algunas partes de la topología y la teoría de la probabilidad que necesita.
