Mostrar si $p > 3$ es primer, $(p + 1) | p!$

Question

Sé que debo mostrar que p! $\equiv$ 0 mod p + 1. Estoy tratando de uso del teorema de Wilson. p! $\equiv$ p(p - 1)! $\equiv$ p $\cdot$ - 1 mod p. Puesto que p $\equiv$ 0 mod p, entonces p! $\equiv$ 0 mod p...pero esto es obvio ya que p divide a p. Así que este argumento parece ser un callejón sin salida.

He intentado lo siguiente: p debe ser impar puesto que p es un primo mayor que 3. Por lo tanto, p + 1 es par. Puesto que p + 1 es aún debe ser el producto de 2 y un número entero n tal que n < p + 1. Ahora, p! = p(p - 1) $\cdot\cdot\cdot$ n $\cdot\cdot\cdot$ 2 $\cdot$ 1. Por lo tanto p + 1 = 2n | p!

Es este un riguroso suficiente argumento?

Answer 1

$p+1$ es un número par mayor que 4, por lo tanto un producto de al menos un par de distintos números enteros más pequeños que sí mismo. Ese producto divide $p!$ de construcción.

Answer 2

Que $p+1=2q$, entonces el $1\leq q= \dfrac{p+1}{2}<p$

Claramente, para todos los $p>3$, $p!\equiv0 \pmod 8$.

Desde $p!=p(p-1)(p-2)\cdots2\cdot 1$. Entonces, debemos tener $1\leq i\leq \dfrac{p+1}{2}$ $(p-i)=q$,

Answer 3

Si $p>3$, entonces el $p+1 = 2q$, $2<q<p$, que $p!$ evidentemente tiene factores de ambos.

Answer 4

De otra manera: es suficiente para demostrar que si $q$ es un número primo, y $q^n$ divide $p+1$, $q^n$ divide $p!$.

Hay dos casos: o $q^n = p+1$ o $q^n$ es un buen divisor de $p+1$.

En el primer caso, $n$ no puede ser $1$, ya que de lo contrario $p$ $p+1$ son ambos primos, lo cual es contrario a la hipótesis. Si $n = 2$,$p+1 = q^2$, y por lo $p = (q+1)(q-1)$, lo cual es imposible a no ser $q = 2$, lo que implica que $p = 3$, contrario a la hipótesis. Por lo $n$ debe $\geq 3$, y por lo $nq < q^n = p+1$, lo que significa que $nq \leq p$. A continuación,$q, 2q, 3q, ... , nq$, y por lo tanto su producto, $n!q^n$, divida $p!$. En particular, $q^n$ divide $p!$.

Para el segundo caso, supongamos que $q^n$ es un buen divisor de $p+1$. A continuación, de nuevo, $nq \leq q^n \leq p$, por lo que el mismo argumento al final del párrafo anterior se aplica.