Solución integral $\int \frac{\sin (x)}{\sin (5x) \sin (3x)} dx$

Question

Encontrar la integral siguiente

$$\int \frac{\sin (x)}{\sin (5x) \sin (3x)} dx$$

No sé cómo lidiar con el $\sin (x)$ en el numerador. Si hubiera sido entonces podríamos haber utilizado $\sin (2x)$ $\sin (2x)= \sin (5x-3x)$. ¿Cómo tratar dado integral? ¿Alguien podría ayudarme con esto?

Answer 1

$$\int\frac{\sin x}{\sin(5x)\sin(3x)}\,dx = \int\frac{2\sin x}{\cos(2x)-\cos(8x)}\,dx = \int\frac{2\sin(x)\,dx}{T_2(\cos x)-T_8(\cos x)}$ $ por lo tanto, basta con encontrar una primitiva de $$ \frac{1}{T_2(x)-T_8(x)}=\frac{1}{-2+34 x^2-160 x^4+256 x^6-128 x^8}$ $ que se puede encontrar por la descomposición de la fracción parcial, puesto que las raíces de $T_2(x)-T_8(x)$ pertenecen a: $$\left\{\pm 1,\pm\frac{1}{2},\frac{\pm 1\pm\sqrt{5}}{4}\right\}. $ $

Answer 2

Podemos convertir la integral de interés en una integral de una función racional mediante el uso directo de la fórmula de Euler. Podemos escribir

$$\frac{\sin(x)}{\sin(5x)\sin(3x)}=2ie^{ix}\left(\frac{1-e^{-2ix}}{(e^{i5x}-e^{-5x})(e^{i3x}-e^{-i3x})}\right) \tag 1$$

Entonces, aplicando la sustitución $u=e^{ix}$, nos encontramos con

$$\begin{align} \int \frac{\sin(x)}{\sin(5x)\sin(3x)}\,dx&=\int 2ie^{ix}\left(\frac{1-e^{-2ix}}{(e^{i5x}-e^{-5x})(e^{i3x}-e^{-i3x})}\right) \,dx\\\\ &=2\int \frac{1-u^{-2}}{(u^5-u^{-5})(u^3-u^{-3})}\,du\\\\ &=2\int \frac{u^6(u^2-1)}{(u^{10}-1)(u^6-1)}\,du\\\\ &=2\int \frac{u^6}{(u^{10}-1)(u^4+u^2+1)}\,du \tag 1 \end {Alinee el} $$

Uno puede realizar expansión fracción parcial en el integrando a la derecha del $(1)$ y evaluar la integral resultante. Este ejercicio (exhaustiva) se deja como ejercicio para el lector interesado.

Answer 3

Creo que es un poco más fácil si te dejo en términos de los polinomios de Chebyshev de la segunda clase, $U_n(\cos x)=\frac{\sin(n+1)x}{\sin x}$. Entonces la integral se parece a $$\begin{align}\int\frac{\sin x}{\sin5x\sin3x}dx&=\int\frac{\sin x}{\sin^2xU_4(\cos x)U_2(\cos x)}dx\\ &=\int\frac{-dv}{(1-v^2)U_4(v)U_2(v)}\end{align}$$ Donde hemos realizado la sustitución de $v=\cos x$. A continuación, puede utilizar $\sin(n+1)x=2\sin nx\cos x-\sin(n-1)x$ a ejecutar estas lo suficiente: $$\begin{array}{rl}\sin2x&=2\sin x\cos x\\ \sin3x&=4\sin x\cos^2x-\sin x\\ \sin4x&=8\sin x\cos^3x-4\sin x\cos x\\ \sin5x&=16\sin x\cos^4x-12\sin x\cos^2x+\sin x\end{array}$$ Así que ahora estamos a la altura $$\int\frac{\sin x}{\sin5x\sin3x}dx=\int\frac{dv}{64\left(v^2-1\right)\left(v^2-\frac14\right)\left(v^4-\frac34v^2+\frac1{16}\right)}$$ Las raíces de este último factor está dado por $\sin\left(5\cos^{-1}v\right)=0=\sin n\pi$, lo $v=\cos\frac{n\pi}5$ o $$v\in\left\{\frac{\phi}2,\frac1{2\phi},-\frac1{2\phi},-\frac{\phi}2\right\}$$ Donde $\phi=\frac{\sqrt5+1}2$, al igual que @Jack D'Aurizio dijo. Así tenemos $$\begin{align}&\frac1{64\left(v^2-1\right)\left(v^2-\frac14\right)\left(v^4-\frac34v^2+\frac1{16}\right)}\\ &=\frac1{64(v-1)(v+1)(v-\frac12)(v+\frac12)(v-\frac{\phi}2)(v-\frac1{2\phi})(v+\frac1{2\phi})(v+\frac{\phi}2)}\\ &=\frac A{v-1}+\frac B{v+1}+\frac C{v-\frac12}+\frac D{v+\frac12}+\frac E{v-\frac{\phi}2}+\frac F{v-\frac1{2\phi}}+\frac G{v+\frac1{2\phi}}+\frac H{v+\frac{\phi}2}\end{align}$$ Podemos tirar estas fracciones parciales bastante rápido con la regla de L'Hospital. Por ejemplo $$\begin{align}\lim_{v\rightarrow\frac{\phi}2}\frac{v-\frac{\phi}2}{64\left(v^2-1\right)\left(v^2-\frac14\right)\left(v^4-\frac34v^2+\frac1{16}\right)}&=\frac1{64\left(\frac{\phi^2}4-1\right)\left(\frac{\phi^2}4-\frac14\right)\left(4\frac{\phi^3}{8}-\frac34(2)\frac{\phi}2\right)}\\ &=-\frac1{5\phi}=\lim_{v\rightarrow\frac{\phi}2}\frac{E(v-\frac{\phi}2)}{v-\frac{\phi}2}=E\end{align}$$ Las simetrías significa que sólo se necesita uno de un par de expresiones algebraicas conjugados o inversos aditivos, así que realmente sólo un total de $3$ numeradores necesitan ser calculadas por separado. Finalmente, después de conseguir el resto de coeficientes y de la integración y que se expresa en términos de $x$, obtenemos $$\begin{align}\int\frac{\sin x}{\sin5x\sin3x}dx&=-\frac1{5\phi}\ln\left|\frac{\cos x-\frac{\phi}2}{\cos x+\frac{\phi}2}\right|+\frac{\phi}5\ln\left|\frac{\cos x+\frac1{2\phi}}{\cos x-\frac1{2\phi}}\right|\\ &+\frac13\ln\left|\frac{\cos x-\frac12}{\cos x+\frac12}\right|+\frac1{30}\ln\left|\frac{\cos x-1}{\cos x+1}\right|+C\end{align}$$ Lo he comprobado en comparación con el de cuadratura numérica, por lo que la única errores de la izquierda son los errores tipográficos. El uso de polinomios de Chebyshev de la segunda clase a la izquierda el denominador de una mejor forma factorizada.