En uno de mis libros, he encontrado una tarea muy interesante, estoy muy curiosos acerca de la solución:
Deje $M = \{2,3,4,5,6,7,8,9,20,22,...\} \subseteq \mathbb{N}$ ser un conjunto que contiene a todos los números naturales, que no contienen un "1" en su representación. Demostrar que:
$$\sum_{n\in M} {\frac{1}{n}} < \infty$$
El Conjunto M que hemos creado es infinito a la derecha? Siempre voy a ser capaz de encontrar un número natural que no contiene un "1" que es el más grande. Entonces, ¿no es el tipo de la misma importancia, como la serie armónica, a partir de la cual sabemos que diverge?
Seguro,$\frac{1}{n} $ convergerán "más rápido" contra 0 por lo que la serie puede converger entonces.. pero me parece que un tipo difícil de probar.
Cómo "rápido", ¿la secuencia 1/n tiene que convergen en contra 0, por lo que nuestra serie es convergente? ¿Qué necesitamos para ser capaces de decir acerca de las sumas parciales? Hay una convergencia de criterios aplicables aquí?
(Creo $<\infty$ significa que se ha de converger en algún momento, ¿verdad?)
Yo también he leído la prueba de que el "normal" de la serie armónica es divergente. Se estima que las sumas parciales (me puede dar esta prueba si es necesario)... Pero en este caso, ¿qué se puede decir acerca de la $M$ a conducir una prueba de como esto una contradicción?
Me dieron una niebla de la concepción de este, si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre esto que sería increíble!
