¿La prueba utiliza el teorema del valor intermedio?

Question

Que $x_1, \dots, x_n$ distintos puntos de $[\alpha, \beta]$ y $y_1, \dots, y_n$ reales con el mismo signo. Asumir que $f: [\alpha, \beta] \rightarrow \mathbb{R}$ es continua. Luego, probar que existe $\lambda \in (\alpha, \beta)$ (o ajustan dijo @arovai $[\alpha,\beta]$) que $\sum\limits_{k=1}^n f(x_k)y_k = f(\lambda) \sum\limits_{k=1}^ny_k$.

¿Había probado prueba usando el teorema del valor medio, pero... alguna sugerencia?

Gracias.

Answer 1

Deje $a_k$ se normalizan los coeficientes de

$$\displaystyle a_k = \frac{y_k}{\sum_{j=1}^n y_j}$$

Como todos los $y_k$ son del mismo signo, todas las $a_k$ son positivos. También se $ a_k < 1$$\sum_{k=1}^n a_k = 1$. Por lo tanto la suma de los $f(x_k)$ ponderado por el $a_k$ está delimitado por encima y por debajo de:

$$\min_j f(x_j) \leq \sum_{k=1}^n a_k f(x_k) \leq \max_j f(x_j)$$

Vamos $\min_j f(x_j) = f(x_p)$, $\max_j f(x_j) = f(x_q)$ para algunos de hormigón $x_p$$x_q$. Suponga que $p \neq q$, porque si $x_p = x_q$ todos los $f(x_j)$ son iguales y el resultado es trivial.

Lo que hemos demostrado hasta ahora es que para algunos $x_p$$x_q$,

$$ f(x_p) \leq \sum_{k=1}^n a_k f(x_k) \leq f(x_q)$$

Sin pérdida de generalidad, vamos a $x_p < x_q$. Por la continuidad de $f$ y el Valor Intermedio de la Propiedad, debe haber alguna $\lambda \in [x_p, x_q]$ tal que

$$\sum_{k=1}^n a_k f(x_k) = f(\lambda)$$.

Que es, para algunos,$\lambda \in [x_p, x_q] \subset [a, b]$,

$$\sum_{k=1}^n y_k f(x_k) = f(\lambda) \sum_{k=1}^n y_k$$

Answer 2

Me gustaría ofrecer una vista más, donde este es un clásico teorema de tono para más general de las medidas.

Este es el Primer Valor medio Teorema de Integración en contra de un promedio ponderado conteo de medida $\mu$ donde $\mu(x_j) = y_j$ $\mu(x) = 0$ lo contrario. Así que si usted compara la prueba proporcionada en la wikipedia a Simon S la respuesta, te darás cuenta de que son exactamente iguales a las de la prueba y esto es porque son el mismo teorema, sólo que con diferentes medidas.

Answer 3

Tenga en cuenta que en la tesis se debe tener $\lambda \in [\alpha, \beta]$. De lo contrario, la afirmación es falsa, un contraejemplo ser $\alpha =0$, $\beta=1$, $f(x)=x$, $n=1$ y $x_1=0$, $y_1=1$. Así que vamos a demostrar la afirmación con $\lambda \in [\alpha, \beta]$ lugar.

Si $y_i=0$ por cada $i = 1, ..., n$ es trivial. De lo contrario, suponer sin pérdida de generalidad $f(x_1) \leq f(x_2) \leq ... \leq f(x_n)$$y_i \geq 0$$i=1, ..., n$, $y_i>0$ durante al menos un $i \in \{1, ..., n\}$ y deje $\delta = \frac{\sum_{i=1}^n f(x_i)y_i}{\sum_{i=1}^n y_i}$. Desde $\delta$ es un promedio ponderado de la media aritmética de $f(x_1), ..., f(x_n)$ tenemos $f(x_1) \leq \delta \leq f(x_n)$ y por lo tanto, debido a la continuidad de $f$ existe $\lambda \in [x_1,x_n]$ (suponiendo que $x_1<x_n$, $[x_n,x_1]$ de lo contrario) que $f(\lambda) = \delta$. Tal $\lambda$ es el que estamos buscando.